Etude de la dynamique autour des points de Lagrange

tel-00422422, version 1 - 6 Oct 2009
de petits ajustements δ ¯ X0 sur la condition initiale ¯ X0 pour que la nouvelle trajectoire finisse à
l’état final désiré Xd. Pour cela, on étudie la sensibilité de l’état final ¯ X1 à de petits changements
initiaux δ ¯ X0. Ceci met une nouvelle fois en avant la matrice de transition d’état évaluée le long de
la trajectoire de référence ¯ X(t), ∂φ(t1, t0, ¯ X0)
. Cette matrice étant définie, on est alors capable
∂ ¯ X0
de déterminer les corrections à apporter à la trajectoire de référence pour répondre aux critères
d’optimisation fixés.
Dans notre cas, la trajectoire de référence est naturellement la trajectoire Terre-halo de la Figure
3.3. La méthode de correction aboutissant à la trajectoire optimale dépend alors des critères
d’optimisation qu’on se fixe. Le lecteur pourra se référer au travaux de Mains [37], Barden [6]
et d’Howell, Mains, et Barden [25].
3.3 Construction de trajectoires hétéroclines
3.3.1 Définition
Une trajectoire hétérocline est une trajectoire qui joint asymptotiquement deux points d’équilibre
distincts. Par extension, on appellera également trajectoire hétérocline une trajectoire joignant
asymptotiquement deux orbites périodiques distinctes.
L’intérêt de telles trajectoires réside dans le fait que, comme leur définition l’indique, ce sont
des trajectoires naturelles du problème restreint des trois corps, c’est-à-dire gratuites. En les
utilisant, on pourrait par exemple transférer une navette ou un satellite depuis une orbite de
halo autour de L2 à une orbite de halo autour de L1, et ceci presque gratuitement. Les seules
manoeuvres à effectuer se situeraient au niveau du départ de la première orbite périodique et au
niveau du raccordement à l’autre orbite, puisque la trajectoire hétérocline ne joint qu’asymptotiquement
les orbites périodiques. On détaille par la suite la contruction d’une trajectoire qui
joint asymptotiquement une orbite de Lyapunov autour de L2(ST) à une orbite de Lyapunov
autour de L1(ST). On se place donc dans le cas planaire du problème circulaire restreint des
trois corps.
3.3.2 Contraintes énergétiques
Pour pouvoir calculer une trajectoire qui joint asymptotiquement une orbite de Lyapunov
autour de L2 à une orbite de Lyapunov autour de L1, il faut que les deux orbites de Lyapunov
aient la même énergie E car l’énergie est une intégrale première du mouvement. De plus, il faut
que l’énergie E soit suffisamment grande pour permettre le voyage de la navette de la région de
L2 à la région de L1. Au vu des différents portraits de la région de Hill en fonction de la valeur
de l’énergie, ceci signifie qu’il faut une énergie E > E2. Par ailleurs, cette contrainte au niveau
de l’énergie des orbites de Lyapunov nécessite d’être capable de calculer numériquement une
orbite de Lyapunov d’énergie donnée. Etant donné qu’on a déjà à notre disposition une méthode
numérique permettant de construire une orbite de Lyapunov d’amplitude en x donnée et que
l’énergie des orbites de Lyapunov varient de manière continue et croissante avec l’amplitude,
une méthode numérique du type "point milieu" est tout à fait satisfaisante.
36