Etude de la dynamique autour des points de Lagrange

tel-00422422, version 1 - 6 Oct 2009
Figure 2.5 – Symétrie du problème restreint des trois corps.
ce plan intersecte à nouveau le plan y = 0 orthogonalement, alors cette trajectoire et son image
miroir se raccorderont tant en position qu’en vitesse au niveau du plan y = 0 et formeront donc
une seule et unique orbite périodique.
Considérons une condition initiale X0 appartenant au plan y = 0 et avec un vecteur vitesse
orthogonal au plan y = 0,
X0 =
x0, 0, z0, 0, ˙y0, 0 ·
Pour que l’orbite partant de X0 soit périodique, il faut et il suffit qu’au temps t1 où l’on recoupe
le plan y = 0 on obtienne un point de coordonnées
X(t1) =
x, 0, z, 0, ˙y, 0
(vecteur vitesse orthogonal au plan (y = 0)). Si cette condition est remplie, l’orbite construite
sera alors périodique de période T = 2t1.
Pour calculer numériquement une orbite périodique, on se donne une condition initiale X0
de la forme précédente. On intègre numériquement les équations du mouvement à partir de
X0, et on corrige cette condition initiale jusqu’à ce que les composantes en x et z de la vitesse
soient nulles au moment où la trajectoire intersecte le plan y = 0. Numériquement, on résout ce
problème en utilisant une méthode de Newton.
Correction des conditions initiales par une méthode de Newton.
On cherche X0 = (x0, 0, z0, 0, ˙y0, 0) et t1 tels que
⎛
⎜
⎝
y(t1)
˙x(t1)
˙z(t1)
⎞
⎟
⎠ =
⎛
⎜
⎝
φ2(X0, t1)
φ4(X0, t1)
φ6(X0, t1)
24
⎞
⎟
⎠ =
⎛
⎜
⎝
0
0
0
⎞
⎟
⎠ ·