Etude de la dynamique autour des points de Lagrange

tel-00422422, version 1 - 6 Oct 2009
Dans la direction perpendiculaire, cela donne tout d’abord :
˜f(xe, ye) · u⊥ = 0
⇔ (1 − µ) (xe + µ)ye − xeye
r1 3
⇔ (1 − µ) µye − µ)ye
− µ(1
r1
3 r2 3 = 0
⇔
1 1
µ(1 − µ)ye −
r1
3 r2 3
= 0
⇔ r1 = r2
+ µ (xe − 1 + µ)ye − xeye
r2 3
Puis dans la direction parallèle, en se servant du résultat r1 = r2, on a :
˜f(xe, ye) · u = 0
⇔ −xe 2 − ye 2 + (1 − µ) (xe + µ)xe + ye 2
r1 3
⇔ − xe 2 + ye 2
(1 − µ)
+ (1 − µ)
⇔
xe 2 + ye 2−1
+ 1
r1 3
= 0
⇔ r1 = r2 = 1
= 0
+ µ (xe − 1 + µ)xe − ye 2
r2 3 = 0
xe 2 + ye 2
+ µxe + µ xe 2 + ye 2 − (1 − µ)xe
Donc, on obtient finalement des points qui sont équidistants de m1 et m2 et situés à la distance
1 de ces deux masses. Dans notre système d’unité, l’unité de longueur est la distance entre les
deux masses m1 et m2. Par conséquent, les points d’équilibre L4 et L5 sont tels qu’ils forment
avec les masses m1 et m2 deux triangles équilatéraux symétriques l’un de l’autre par rapport à
l’axe x.
En terme de coordonnées dans notre système d’unité, on note L4 le point de Lagrange de
1 coordonnées
2 ,
√ √
3
1 3
et L5 le point de Lagrange de coordonnées , − .
2
2 2
2.2.3 Stabilité des points de Lagrange
La stabilité des points de Lagrange a également été discutée par Szebehely [55]. Pour étudier
la stabilité des points de Lagrange, on linéarise les équations du mouvement autour de chacun
d’eux.
16
r1 3
= 0