Etude de la dynamique autour des points de Lagrange

tel-00422422, version 1 - 6 Oct 2009
Cette approximation analytique du troisième ordre des orbites de halo offre le point de départ
idéal de l’algorithme de la méthode de tir. La Figure 2.6 représente une famille d’orbites de halo
autour des points L1 et L2.
y (unités normalisées)
6
4
2
0
−2
−4
x 10−3
L 1
m 2
−6
0.98 0.985 0.99 0.995 1 1.005 1.01 1.015 1.02
x (unités normalisées)
Figure 2.6 – Familles d’orbites de halo calculées autour des points L1 et L2.
Dans le cas planaire, pour calculer numériquement une orbite de Lyapunov, on utilise également
une méthode de tir. L’excursion en x, Ax, fait désormais office de paramètre. La fonction
à annuler est
Gx0f : ( ˙y0, t1) ↦−→
Φ2(X0, t1)
Φ3(X0, t1)
où X0 = (x0f , 0, 0, ˙y0), et l’algorithme de la méthode de tir est le suivant :
˙y0,n+1
tn+1
=
˙y0,n R2,4(tn) f2(Φ(X
−
tn
n 0 , tn))
R3,4(tn) f3(Φ(Xn −1
Φ2(X
·
0 , tn))
n 0 , tn)
Φ3(X n
·
0 , tn)
Reste à résoudre le problème de l’initialisation de la méthode de tir. L’étude du linéarisé autour
des points d’équilibre (voir la section 2.2.3) fournit une approximation au premier ordre
des orbites de Lyapunov mais celle-ci n’est pas assez précise. La solution proposée et élaborée
pour calculer une orbite de Lyapunov d’amplitude Ax donnée est la suivante. Dans un premier
temps, on calcule une orbite de halo d’excursion en z nulle, en utilisant la méthode décrite précédemment.
Cette orbite de halo d’excursion en z nulle est une orbite de Lyapunov. On calcule
26
L 2
,