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<strong>4.</strong><strong>4.</strong> Arithmétique dans l’anneau ZZ<br />
Exercice <strong>4.</strong><strong>4.</strong>1<br />
<strong>Groupes</strong>, <strong>anneaux</strong>, <strong>corps</strong><br />
1. Trouver l’exposant dans la décomposition de 1000! en produits de facteurs premiers.<br />
2. Même question avec l’exposant de 3.<br />
3. Généraliser avec l’exposant d’un entier premier p dans la décomposition de n!.<br />
Exercice <strong>4.</strong><strong>4.</strong>2<br />
Soient m et n deux entiers naturels, avec m < n, et tels que m n = n m .<br />
Montrer que nécessairement m = 2 et n = <strong>4.</strong><br />
Exercice <strong>4.</strong><strong>4.</strong>3<br />
Trouver tous les entiers 0 ≤ n ≤ m tels que :<br />
Exercice <strong>4.</strong><strong>4.</strong>4<br />
Montrer que pour tous entiers m et n :<br />
pgcd (m, n) = m − n<br />
ppcm (m, n) = 300<br />
m 2 + n 2 est divisible par 7 si et seulement si m et n sont divisibles par 7.<br />
Exercice <strong>4.</strong><strong>4.</strong>5<br />
Quel est le plus petit entier naturel admettant exactement 15 diviseurs positifs?<br />
Exercice <strong>4.</strong><strong>4.</strong>6<br />
1. Soient m et n deux entiers premiers entre eux. Soient a et b deux entiers.<br />
<br />
x ≡ a (mod m)<br />
Montrer que le système<br />
possède des solutions et que celles-ci forment<br />
x ≡ b (mod n)<br />
une classe d’entiers modulo mn.<br />
<br />
x ≡ 3 (mod 12)<br />
2. Résoudre le système<br />
x ≡ 5 (mod 9)<br />
Exercice <strong>4.</strong><strong>4.</strong>7<br />
Montrer qu’il existe une infinité de nombres premiers de la forme N = 4k + 3.<br />
(Considérer Nn = 4p1p2 . . . pn + 3, avec p1 = 7, p2 = 11, etc.)<br />
Jean-Michel.Ferrard @ ac-lyon.fr, 7 novembre 2000 Page 11
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