4. Groupes, anneaux, corps, arithmétique

Corrigé de l’exercice 4.4.7
Groupes, anneaux, corps
Par l’absurde, on suppose qu’il n’y a que n + 1 nombres premiers de la forme 4k + 3.
Nommons-les p0 = 3, p1 = 7, p2 = 11, p3 = 19, · · · , pn dans l’ordre croissant.
On pose alors Nn = 4p1p2 . . . pn + 3.
Nn est de la forme 4k + 3 et supérieur à p0, p1, . . . , pn : il ne peut donc pas être premier.
A part p = 2 tous les entiers premiers sont de la forme p = 4k + 1 ou p = 4k + 3.
L’entier Nn est impair donc n’est pas divisible par 2.
Si les facteurs premiers de Nn étaient tous de la forme 4k +1 (c’est-à-dire congrus à 1 modulo
4) il en serait de même de Nn, ce qui n’est pas le cas car Nn est congru à 3 modulo 4.
On en déduit que Nn est nécessairement divisible par l’un des entiers premiers p0, p1, . . . , pn.
Si p0 = 3 divisait Nn il diviserait 4p1p2 . . . pn donc l’un des pk avec k ≥ 1 : impossible.
Si l’un des pk (avec k ≥ 1) divisait Nn, il diviserait 3 ce qui est impossible. Contradiction!
Conclusion : il y a une infinité de nombres premiers de la forme 4k + 3.
Corrigé de l’exercice 4.4.8
On commence par calculer le pgcd de 3960 et de 2520 par l’algorithme d’Euclide.
3960 = 2520 × 1 + 1440, 2520 = 1440 × 1 + 1080, 1140 = 1080 × 1 + 360, 1080 = 360 × 3.
Ainsi pgcd (3960, 2520) = 360 et 3960 = 360 × 11 et 2520 = 360 × 7.
On remarque aussi que 6480 = 360 × 18. L’équation équivaut donc à 7x − 11y = 18.
Une solution de 7x − 11y = 1 est x = −3 et y = −2.
On en déduit qu’une solution de 7x − 11y = 18 est : x0 = −54 et y0 = −36.
Soit maintenant (x, y) un couple solution quelconque de 7x − 11y = 8.
On a l’équivalence : 7x − 11y = 8 ⇔ 7x − 11y = 7x0 − 11y0 ⇔ 7(x − x0) = 11(y − y0).
Ainsi 7 divise 11(y − y0). Mais il est premier avec 11 : il divise donc y − y0 (Gauss).
De même 11 divise x − x0. On peut alors écrire x − x0 = 11k et y − y0 = 7k ′ .
Mais le report dans l’égalité 7(x − x0) = 11(y − y0) équivaut à k = k ′ .
x = −54 + 11k
Les solutions de l’équation initiale sont donc les
, avec k ∈ ZZ.
y = −36 + 7k
Remarque : une solution très simple (évidente?) est x = 1, y = −1, obtenue pour k = 5.
x = 1 + 11k
On peut donc réécrire l’ensemble des solutions :
, avec k ∈ ZZ.
y = −1 + 7k
Trouver (x = 1, y = −1) dès le début permet de simplifier la démonstration. Mais on a
préféré donner ici la méthode générale, car il n’existe pas toujours de solution... évidente.
Jean-Michel.Ferrard @ ac-lyon.fr, 7 novembre 2000 Page 42