4. Groupes, anneaux, corps, arithmétique

Corrigé de l’exercice 4.5.1
Groupes, anneaux, corps
1. On suit les “orbites” des éléments de {1, . . . , 12}, jusqu’à les avoir tous passé en revue.
Ainsi 1 est envoyé sur 6, qui est envoyé sur 11, lui-même sur 8, lui-même sur 3, qui est
enfin envoyé sur 1 : on obtient ainsi un premier cycle (1, 6, 11, 8, 3).
On passe ensuite à l’orbite de 2 et on trouve le cycle (2, 12, 5, 9).
On vérifie enfin l’orbite de 4, qui nous donne le cycle (4, 10, 7).
⎧
⎨ σ1 = (1, 6, 11, 8, 3)
On trouve finalement σ = σ1 ◦ σ2 ◦ σ3, avec σ2 = (2, 12, 5, 9)
⎩
σ3 = (4, 10, 7)
2. Il suffit de décomposer σ1, σ2 et σ3 en produits de transpositions :
σ1 = (1, 6, 11, 8, 3) = (1, 6) ◦ (6, 11) ◦ (11, 8) ◦ (8, 3)
σ2 = (2, 12, 5, 9) = (2, 12) ◦ (12, 5) ◦ (5, 9)
σ3 = (4, 10, 7) = (4, 10) ◦ (10, 7)
On obtient une décomposition de σ :
σ = (1, 6) ◦ (6, 11) ◦ (11, 8) ◦ (8, 3) ◦ (2, 12) ◦ (12, 5) ◦ (5, 9) ◦ (4, 10) ◦ (10, 7)
3. σ est décomposée en un nombre impair de transpositions. Donc σ est impaire.
Une autre méthode consiste à écrire que la signature de la permutation σ est le produit
de celles des cycles σ1, σ2 et σ3.
Or la signature d’un cycle de longueur m est (−1) m+1 .
⎧
⎨ ε(σ1) = (−1)
On en déduit
⎩
6 = 1
ε(σ2) = (−1) 5 = −1
ε(σ3) = (−1) 4 puis ε(σ) = ε(σ1)ε(σ2)ε(σ3) = −1.
= 1
4. Pour tout entier k, on a σ k = σ k 1 ◦ σ k 2 ◦ σ k 3.
Or un cycle s de longueur m est d’ordre m : il vérifie sn = Id ⇔ m | n.
Ainsi σn ⎧
⎨ σ
= Id ⇔
⎩
n 1 = Id
σn 2 = Id
σn ⎧
⎨ 5 | n
3 = Id
⇔ 4 | n
⎩
3 | n
⇔ 60 | n.
Le plus petit entier n tel que σn = Id est donc n = 60.
5. On a 1999 = 60 · 33 + 19. On en déduit σ 1999 = σ 19 = σ 19
1 ◦ σ 19
2 ◦ σ 19
3 .
On peut encore simplifier en tenant compte des ordres respectifs de σ1, σ2 et σ3 :
σ19 1
σ19 2
σ19 3
= σ 5·3+4
1
= σ 4·4+3
1
= σ 3·6+1
1
= σ 4 1 = (1, 6, 11, 8, 3) 4 = (1, 3, 8, 11, 6)
= σ 3 1 = (2, 12, 5, 9) 3 = (2, 9, 5, 12)
= σ1 = (4, 10, 7)
On en déduit finalement σ 1999 = (1, 3, 8, 11, 6) ◦ (2, 9, 5, 12) ◦ (4, 10, 7)
Ainsi : σ 1999 =
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
3 9 8 10 12 1 4 11 5 7 6 2
Jean-Michel.Ferrard @ ac-lyon.fr, 7 novembre 2000 Page 50
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