4. Groupes, anneaux, corps, arithmétique

Corrigé de l’exercice 4.5.2
Groupes, anneaux, corps
1. On va montrer que σ ◦ τ = τ ◦ σ ⇔ {σ(i), σ(j)} = {i, j}.
• On suppose que σ ◦ τ = τ ◦ σ.
σ ◦ τ(i) = τ ◦ σ(i)
Alors en particulier
σ ◦ τ(j) = τ ◦ σ(j) c’est-à-dire
σ(j) = τ(σ(i))
σ(i) = τ(σ(j))
Les deux éléments σ(i) et σ(j) (qui sont différents) sont donc échangés par τ.
Cela signifie que {σ(i), σ(j)} = {i, j}.
σ(i) = i
• Inversement, supposons {σ(i), σ(j)} = {i, j} donc
σ(j) = j ou
σ(i) = j
σ(j) = i
σ(j) = τ(σ(i))
On a alors
σ(i) = τ(σ(j)) donc
σ ◦ τ(i) = τ ◦ σ(i)
σ ◦ τ(j) = τ ◦ σ(j)
De plus, soit k un élément de {1, 2, . . . , n} distinct de i et j, donc invariant par τ.
L’élément σ(k) est distinct de σ(i) et σ(j) donc de i et j, donc invariant par τ.
Pour cet élément, on a alors : σ ◦ τ(k) = σ(k) = τ ◦ σ(k).
Ainsi σ ◦ τ et τ ◦ σ sont égales sur tout élément de {1, 2, . . . , n}.
2. Il est clair que Id commute avec tous les éléments de Sn.
Inversement soit σ dans Sn telle que : ∀ s ∈ Sn, σ ◦ s = s ◦ σ.
Soient i, j, k trois éléments distincts de {1, 2, . . . , n} (c’est possible car n ≥ 3.)
Par hypothèse σ commute avec les transpositions τ = (i, j) et τ ′ = (i, k).
{σ(i), σ(j)} = {i, j}
D’après la question (1), cela signifie que
{σ(i), σ(k)} = {i, k}
Mais ce double résultat implique σ(i) = i.
Comme i est quelconque dans {1, 2, . . . , n}, cela signifie que σ est l’application identité.
3. Id commute avec tous les éléments de Sn donc avec toutes les permutations paires!
Réciproquement soit σ commutant avec les permutations paires de {1, 2, . . . , n} (n ≥ 4).
En particulier σ commute avec tous les cycles de longueur 3.
Soit c = (i, j, k) un tel cycle, et soit x un élément de {1, 2, . . . , n} distinct de {i, j, k}.
L’élément x est invariant par le cycle c.
On a σ ◦ c(x) = c ◦ σ(x) donc σ(x) = c(σ(x)).
Il en découle que σ(x) est invariant par c, donc distinct de i, j, k.
Autrement dit l’ensemble des éléments invariants par c (c’est-à-dire le complémentaire
de {i, j, k} dans {1, 2, . . . , n}) est stable par σ.
Par passage au complémentaire, on en déduit que {i, j, k} est stable par σ.
Donnons-nous maintenant quatre éléments distincts x, y, z, t de {1, 2, . . . , n}.
D’après ce qui précède, les ensembles {x, y, z} et {x, y, t} et {x, z, t} sont stables par σ.
Il en est donc de même de leur intersection, c’est-à-dire du singleton {x}.
Autrement dit σ(x) = x pour tout élément x de {1, 2, . . . , n}.
On en déduit que σ est la permutation identité.
Jean-Michel.Ferrard @ ac-lyon.fr, 7 novembre 2000 Page 51