4. Groupes, anneaux, corps, arithmétique

Corrigé de l’exercice 4.5.3
Groupes, anneaux, corps
1. Il s’agit de montrer que toute permutation σ de {1, 2, . . . , n} peut s’écrire au moins
d’une manière comme un produit de transpositions τj.
Il suffit de le montrer quand σ est une transposition (car toute permutation est un
produit de transpositions quelconques.)
On se donne donc deux éléments i < j de {1, 2, . . . , n}, et σ = (i, j).
Si j = i + 1, il n’y a rien à démontrer.
On suppose donc j ≥ i + 2.
On constate effectivement que :
σ = (i, j) = (i, i + 1) ◦ (i + 1, i + 2) ◦ · · · ◦ (j − 2, j − 1) ◦ (j − 1, j)
◦(j − 2, j − 1) · · · ◦ (i + 1, i + 2) ◦ (i, i + 1)
= τi ◦ τi+1 ◦ · · · ◦ τj−2 ◦ τj−1 ◦ τj−2 ◦ · · · τi+1 ◦ τi
2. On décompose d’abord σ en produits de cycles à supports disjoints :
1
σ =
4
2
5
3
2
4
1
5
= (1, 4) ◦ (2, 5, 3) = (1, 4) ◦ (5, 3, 2)
3
On décompose le deuxième cycle en deux transpositions : σ = (1, 4) ◦ (3, 5) ◦ (2, 3).
On décompose alors chaque transposition comme vu dans la question (1) :
σ = (1, 2) ◦ (2, 3) ◦ (3, 4) ◦ (2, 3) ◦ (1, 2) ◦ (3, 4) ◦ (4, 5) ◦ (3, 4) ◦ (2, 3)
Remarque : on a remplacé le cycle (2, 5, 3) par son écriture équivalente (5, 3, 2) pour
minimiser les écarts entre éléments à échanger donc le nombre final de transpositions.
3. (a) On passe de MERCI à CRIME par la permutation σ sur la liste des cinq lettres
du mot initial. Voici donc les différentes étapes (on a souligné à chaque fois les deux
lettres à échanger) :
MERCI MRECI MRCEI MRCIE MRICE ⇒
⇒ RMICE RIMCE RICME RCIME CRIME
(b) Il est possible de faire la même transformation, mais en 7 étapes au lieu de 9 :
MERCI MECRI MCERI CMERI ⇒
⇒ CMREI CRMEI CRMIE CRIME
Cette méthode, qui “remonte” les lettres C, R, puis I vers le début du mot est
beaucoup plus naturelle.
Pour ce qui est de notre exemple, elle montre qu’une autre décomposition de σ est :
σ = (3, 4) ◦ (4, 5) ◦ (2, 3) ◦ (3, 4) ◦ (1, 2) ◦ (2, 3) ◦ (3, 4)
Jean-Michel.Ferrard @ ac-lyon.fr, 7 novembre 2000 Page 52