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Corrigé de l’exercice <strong>4.</strong><strong>4.</strong>18<br />
<strong>Groupes</strong>, <strong>anneaux</strong>, <strong>corps</strong><br />
• La loi + est la loi additive habituelle de (ZZ/5ZZ) 2 : (K, +) est un groupe commutatif.<br />
• Il est clair que la loi ⋆ est commutative : (a, b) ⋆ (a ′ , b ′ ) = (a ′ , b ′ ) ⋆ (a, b).<br />
• Le couple (1, 0) est visiblement neutre pour la loi ⋆ : (a, b) ⋆ (1, 0) = (a, b).<br />
• Montrons que la loi ⋆ est associative.<br />
Soient x = (a, b), x ′ = (a ′ , b ′ ) et x ′′ = (a ′′ , b ′′ ) trois éléments quelconques de K. On a :<br />
z ⋆ (z ′ ⋆ z ′′ ) = (a, b) ⋆ (a ′ a ′′ + 2b ′ b ′′ , a ′ b ′′ + b ′ a ′′ )<br />
= (aa ′ a ′′ + 2ab ′ b ′′ + 2ba ′ b ′′ + 2bb ′ a ′′ , aa ′ b ′′ + ab ′ a ′′ + ba ′ a ′′ + 2bb ′ b ′′ )<br />
Ce résultat est invariant si on permute (a, b) et (a ′′ , b ′′ ).<br />
Ainsi, avec la commutativité :<br />
z ⋆ (z ′ ⋆ z ′′ ) = z ′′ ⋆ (z ′ ⋆ z) = (z ′ ⋆ z) ⋆ z ′′ = (z ⋆ z ′ ) ⋆ z ′′<br />
• Montrons que la loi ⋆ est distributive par rapport à la loi +.<br />
Soient x = (a, b), x ′ = (a ′ , b ′ ) et x ′′ = (a ′′ , b ′′ ) trois éléments quelconques de K. On a :<br />
z ⋆ (z ′ + z ′′ ) = (a, b) ⋆ (a ′ + a ′′ , b ′ + b ′′ )<br />
= (aa ′ + aa ′′ + 2bb ′ + 2bb ′′ , ab ′ + ab ′′ + ba ′ + ba ′′ )<br />
= (aa ′ + 2bb ′ , ab ′ + ba ′ ) + (aa ′′ + 2bb ′′ , ab ′′ + ba ′′ )<br />
= z ⋆ z ′ + z ⋆ z ′′<br />
• Enfin il reste à montrer que tout z = (a, b) non nul de K a un inverse pour la loi ⋆.<br />
On doit résoudre le système (a, b) ⋆ (a ′ , b ′ ′ ′ aa + 2bb = 1<br />
) = (1, 0) ⇔<br />
ba ′ + ab ′ = 0 .<br />
<br />
<br />
Le “déterminant” de ce système est ∆ = a 2b <br />
<br />
b a = a2 − 2b2 .<br />
Voici les différentes valeurs de x 2 et 2x 2 quand a décrit IK :<br />
x 0 1 2 3 4<br />
x 2 0 1 4 4 1<br />
2x 2 0 2 3 3 2<br />
On constate que l’égalité x 2 = 2y 2 n’est possible dans IK que si x = y = 0.<br />
Ainsi ∆ = a 2 − 2b 2 est non nul, donc inversible dans le <strong>corps</strong> ZZ/nZZ.<br />
Soit u l’inverse de ∆. On a donc l’égalité : u(a 2 − 2b 2 ) = 1.<br />
On pose a ′ <br />
<br />
= u 1 2b <br />
<br />
0 a = ua et b′ <br />
<br />
= u a 1 <br />
<br />
b 0 = −bu.<br />
On constate que :<br />
(a, b) ⋆ (a ′ , b ′ ) = (aa ′ + 2bb ′ , ab ′ + ba ′ ) = (u(a 2 − 2b 2 ), 0) = (1, 0)<br />
Ainsi (a, b) est inversible et son inverse est (ua, −bu).<br />
Conclusion : (IK, +, ⋆) est un <strong>corps</strong>.<br />
Jean-Michel.Ferrard @ ac-lyon.fr, 7 novembre 2000 Page 48
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