4. Groupes, anneaux, corps, arithmétique

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Exercice 4.4.8 Résoudre dans ZZ l’équation 2520x − 3960y = 6480. Exercice 4.4.9 Dans ZZ, on définit la loi T par x T y = αx + βy (α, β ∈ ZZ ∗ ). Groupes, anneaux, corps 1. Montrer que l’application ϕ : (x, y) → x T y est un morphisme de (ZZ 2 , +) dans (ZZ, +). 2. Quel en est le noyau? 3. On se donne un entier n strictement positif. Montrer qu’on définit une loi sur ZZ/nZZ en posant: x ⋆ y = x T y. 4. Montrer ⋆ est associative si et seulement si n divise α(α − 1) et β(β − 1). 5. Montrer que ⋆ est commutative si et seulement si n divise α − β. 6. Montrer qu’il existe un neutre si et seulement si n divise α − 1 et β − 1. 7. En déduire à quelle condition (ZZ/nZZ, ⋆) est un groupe commutatif. Exercice 4.4.10 Soit p un nombre premier. 1. Montrer que pour tout entier k compris entre 1 et p − 1, C k p est divisible par p. 2. En déduire que pour tous entiers a et b, (a + b) p ≡ a p + b p (mod p). 3. Montrer que pour tout entier n, n p ≡ n (mod p) (c’est le petit théorème de Fermat.) 4. Qu’obtient-on si p ne divise pas n? Exercice 4.4.11 Montrer que pour tous entiers m et n, N = mn(m 60 − n 60 ) est divisible par 56786730. Exercice 4.4.12 Montrer que a ∧ b = 1 si et seulement si (ab) ∧ (a + b) = 1. Exercice 4.4.13 On se donne un entier premier p strictement supérieur à 2. 1. Dans l’anneau ZZ/pZZ, quels sont les éléments qui sont leur propre inverse? 2. En déduire que p divise (p − 1)! + 1. 3. Établir la réciproque. Jean-Michel.Ferrard @ ac-lyon.fr, 7 novembre 2000 Page 12
Exercice 4.4.14 Groupes, anneaux, corps Résoudre les équations 2 x − 5 y ≡ 3 (mod 24) et 2 x − 5 y ≡ 5 (mod 24) dans IN. Exercice 4.4.15 Résoudre dans IN et dans ZZ l’équation 10x + 15y + 6z = 73. Exercice 4.4.16 x − 2y + z = 0 Résoudre dans ZZ le système x + 2y − 2z = 1 Exercice 4.4.17 Résoudre l’équation x 2 + 2x = 3 dans ZZ/97ZZ puis dans ZZ/91ZZ. Exercice 4.4.18 On munit IK = (ZZ/5ZZ) 2 des lois : Montrer que IK est un corps. Exercice 4.4.19 Calculer le reste dans la division de 1999 1999 par 7. Exercice 4.4.20 (a, b) + (a ′ , b ′ ) = (a + a ′ , b + b ′ ) Calculer le reste dans la division de N = 1999 19991999 (a, b) ⋆ (a ′ , b ′ ) = (aa ′ + 2bb ′ , ab ′ + ba ′ ) par 11. Jean-Michel.Ferrard @ ac-lyon.fr, 7 novembre 2000 Page 13
Page 1 and 2: 4. Groupes, anneaux, corps, arithm
Page 3 and 4: Exercice 4.1.7 Soit E un ensemble f
Page 5 and 6: 4.2. Groupes et sous-groupes Exerci
Page 7 and 8: Exercice 4.2.16 Soit G un ensemble
Page 9 and 10: 4.3. Anneaux, sous-anneaux, corps E
Page 11: 4.4. Arithmétique dans l’anneau
Page 15 and 16: Exercice 4.5.4 Groupes, anneaux, co
Page 17 and 18: Corrigé de l’exercice 4.1.3 1. L
Page 19 and 20: Corrigé de l’exercice 4.1.7 ga
Page 21 and 22: Corrigé de l’exercice 4.1.10 1.
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Page 31 and 32: Corrigé de l’exercice 4.2.20 1.
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Page 37 and 38: Corrigé de l’exercice 4.3.5 Rema
Page 39 and 40: Corrigé de l’exercice 4.4.1 Grou
Page 43 and 44: Corrigé de l’exercice 4.4.9 1. S
Page 47 and 48: Corrigé de l’exercice 4.4.16 Soi
Page 49 and 50: Corrigé de l’exercice 4.4.19 On
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