4. Groupes, anneaux, corps, arithmétique

Corrigé de l’exercice 4.1.12
1. Soient a, b deux éléments quelconques de E.
La première partie de l’hypothèse donne b ⋆ a ≤ b et b ⋆ a ≤ a.
Avec x = b ⋆ a, la deuxième hypothèse donne alors b ⋆ a ≤ a ⋆ b.
En échangeant les rôles de a et b, on a alors a ⋆ b ≤ b ⋆ a donc a ⋆ b = b ⋆ a.
Conclusion : la loi ⋆ est commutative.
2. Soit a un élément de E.
La première partie de l’hypothèse donne a ⋆ a ≤ a.
Avec x = a = b, la deuxième hypothèse donne alors a ≤ a ⋆ a.
Conclusion : pour tout a de E, on a : a ⋆ a = a.
3. Soient a, b, c trois éléments quelconques de E, avec a ≤ b.
On sait que a ⋆ c ≤ a ≤ b.
D’autre part a ⋆ c ≤ c.
a ⋆ c ≤ b
Les inégalités
donnent alors a ⋆ c ≤ b ⋆ c.
a ⋆ c ≤ c
a ≤ b
Soient a, b, c, d quatre éléments quelconques de E, avec
c ≤ d
a ⋆ c ≤ b ⋆ c
D’après ce qui précède, on a
c ⋆ b ≤ d ⋆ b
On en déduit a ⋆ c ≤ b ⋆ d, ce qu’il fallait démontrer.
4. Soient a, b, c trois éléments quelconques de E.
On a (a ⋆ b) ⋆ c ≤ a ⋆ b ≤ a.
De même on a les inégalités (a ⋆ b) ⋆ c ≤ b.
Groupes, anneaux, corps
On a aussi (a ⋆ b) ⋆ c ≤ c.
(a ⋆ b) ⋆ c ≤ b
Ainsi
⇒ (a ⋆ b) ⋆ c ≤ b ⋆ c .
(a ⋆ b) ⋆ c ≤ c
(a ⋆ b) ⋆ c ≤ a
Les inégalités
donnent finalement (a ⋆ b) ⋆ c ≤ a ⋆ (b ⋆ c).
(a ⋆ b) ⋆ c ≤ b ⋆ c
En utilisant ce résultat et la commutativité de la loi ⋆, on peut alors écrire :
a ⋆ (b ⋆ c) = (b ⋆ c) ⋆ a = (c ⋆ b) ⋆ a ≤ c ⋆ (b ⋆ a) = (a ⋆ b) ⋆ c
Finalement on voit que a ⋆ (b ⋆ c) = (a ⋆ b) ⋆ c : la loi ⋆ est associative.
Jean-Michel.Ferrard @ ac-lyon.fr, 7 novembre 2000 Page 22