4. Groupes, anneaux, corps, arithmétique

Corrigé de l’exercice 4.4.5
Groupes, anneaux, corps
Soit n un entier naturel, et n = p α q β · · · r γ sa décomposition en facteurs premiers.
Dans cette écriture, on peut toujours supposer α ≥ β ≥ · · · ≥ γ ≥ 1.
Les diviseurs positifs de n sont les m = p a q b · · · r c , avec 0 ≤ a ≤ α, 0 ≤ b ≤ β, 0 ≤ c ≤ γ.
Le nombre de ces diviseurs est (α + 1)(β + 1) · · · (γ + 1).
Pour que ce nombre soit égal à 15 = 5×3, les seules décompositions possibles de n en facteurs
premiers sont du type n = p 14 ou n = p 4 q 2 .
Puisqu’on cherche n minimum, il ne reste que les possibilités 2 14 = 16384 et 2 4 3 2 = 144.
Conclusion : 144 est le plus petit entier positif ayant exactement 15 diviseurs positifs.
Corrigé de l’exercice 4.4.6
1. Par hypothèse, il existe deux entiers u et v tels que um + vn = 1 (Bezout).
vn ≡ 1 (mod m)
On constate alors que
vn ≡ 0 (mod n) ⇒
vna ≡ a (mod m)
vna ≡ 0 (mod n)
um ≡ 0 (mod m)
De la même manière :
um ≡ 1 (mod n) ⇒
umb ≡ 0 (mod m)
umb ≡ b (mod n)
α ≡ a (mod m)
On en déduit que α = vna + umb vérifie
α ≡ b (mod n)
L’entier α est donc une solution du problème.
Soit maintenant x une solution quelconque.
On a les équivalences :
x ≡ a (mod m)
x ≡ b (mod n)
⇔
x ≡ α (mod m)
x ≡ α (mod n)
⇔
m | (x − α)
m | (x − β)
Mais m et n sont premiers entre eux. Dire que x − β est divisible par m et par n, c’est
donc dire qu’il est divisible par leur produit mn.
Ainsi x est solution du problème si et seulement s’il existe un entier relatif k tel que
x = α + kmn.
L’ensemble des solutions est donc bien une classe d’entiers modulo mn.
2. Cette question n’est pas un cas particulier de la précédente car m = 12 et n = 9 ne sont
pas premiers entre eux.
En fait ce système n’admet aucune solution. En effet si x ≡ 3 (mod 12) alors x est de
la forme x = 12k + 3 = 3(4k + 1) et est donc un multiple de 3.
On en déduit que x est congru à 0, à 3 ou à 6 modulo 9, mais certainement pas à 5.
Jean-Michel.Ferrard @ ac-lyon.fr, 7 novembre 2000 Page 41