4. Groupes, anneaux, corps, arithmétique

Corrigé de l’exercice 4.5.6
1. Soient σ et σ ′ deux cycles qui commutent : σ ◦ σ ′ = σ ′ ◦ σ.
On suppose que les supports de σ et σ ′ sont distincts.
Groupes, anneaux, corps
Il existe par exemple x dans {1, 2, . . . , n} qui est dans le support de σ (donc modifié par
σ) mais qui n’est pas dans celui de σ ′ (donc invariant par cette permutation.)
Si σ est un cycle de longueur m, son support s’écrit {x, σ(x), . . . , σ m−1 (x)}.
Or, pour tout entier k de {0, 1, . . . , n − 1}, on a :
σ k (x) = σ k ◦ σ ′ (x) (car x est invariant par σ ′ )
= σ ′ ◦ σ k (x) (σ ′ commute avec σ donc avec σ k )
Ainsi les différents éléments σ k (x) du support de σ sont invariants par σ ′ , ce qui exprime
qu’ils n’appartiennent pas au support de σ ′ .
Les supports de σ et σ ′ sont donc disjoints (s’ils sont distincts).
2. Inversement, si les supports de σ et σ ′ sont disjoints, alors σ ◦ σ ′ = σ ′ ◦ σ.
Mais si on suppose que σ, σ ′ ont même support, alors on peut avoir σ ◦ σ ′ = σ ′ ◦ σ.
Par exemple, dans S4, on peut poser :
1 2 3 4
σ =
= (1, 2, 3, 4) et σ
2 3 4 1
′ =
1 2 3 4
= (1, 2, 4, 3)
2 4 1 3
Les supports de σ et σ ′ sont tous deux égaux à {1, 2, 3, 4}.
′ ′ σ ◦ σ(1) = σ (2) = 4
Pourtant on vérifie que
σ ◦ σ ′ (1) = σ(2) = 3 : Les cycles σ et σ′ ne commutent pas.
Corrigé de l’exercice 4.5.7
Il est clair que les puissances de c commutent avec c.
Réciproquement, soit σ une permutation telle que σ ◦ c = c ◦ σ.
Posons σ(1) = k (avec 0 ≤ k ≤ n − 1) et montrons que σ = c k .
Pour tout entier j compris 0 et n − 1, on a :
σ(j + 1) = σ (c j (1)) = (σ ◦ c j )(1)
= (cj ◦ σ)(1) (car σ commute avec c donc avec cj )
= cj (σ(1)) = cj ck (1)
(car σ(1) = k et k + 1 = ck (1))
= c j+k (1) = c k (c j (1)) = c k (j + 1)
Ainsi σ(j + 1) = c k (j + 1) pour tout j de {0, 1, . . . , n − 1}. On a obtenu σ = c k .
Conclusion : les permutations qui commutent avec c sont les puissances de c, qui se réduisent
aux c k , avec 0 ≤ k ≤ n − 1 (car c n = Id.)
Jean-Michel.Ferrard @ ac-lyon.fr, 7 novembre 2000 Page 55