4. Groupes, anneaux, corps, arithmétique

Corrigé de l’exercice 4.4.9
1. Soient z = (x, y) et z ′ = (x ′ , y ′ ) deux éléments de (ZZ 2 , +).
On a effectivement :
ϕ(z + z ′ ) = ϕ(x + x ′ , y + y ′ ) = α(x + x ′ ) + β(y + y ′ )
= (αx + βy) + (αx ′ + βy ′ ) = ϕ(z) + ϕ(z ′ )
L’application ϕ est donc un morphisme de groupes de (ZZ 2 , +) dans (ZZ, +).
2. Le noyau de ϕ est formé des couples (x, y) tels que αx + βy = 0.
Soit d = pgcd (α, β).
Groupes, anneaux, corps
Il existe deux entiers α ′ et β ′ , premiers entre eux tels que α = dα ′ et β = dβ ′ .
L’équation αx + βy = 0 équivaut alors à α ′ x = −β ′ y.
Puisque α ′ et β ′ sont premiers entre eux, cela implique que α ′ divise y et β ′ divise x.
Réciproquement, l’égalité exige x = kβ ′ et y = −kα ′ , avec k ∈ ZZ.
Finalement le noyau de ϕ est formé des couples (x, y) = k(β ′ , −α ′ ), avec k ∈ ZZ.
3. Il s’agit de montrer que x ⋆ y ne dépend que de x (mod n) et de y (mod n).
Si on remplace x par x ′ = x + an et y par y ′ = y + bn (avec a, b ∈ ZZ), on a :
x ′ T y ′ = αx ′ + βy ′ = α(x + an) + β(y + bn)
Il en découle x ′ T y ′ = x T y (mod n).
On a donc x ′ T y ′ = x T y puis x ′ ⋆ y ′ = x ⋆ y.
4. Soient x, y, z trois éléments quelconques de ZZ.
= αx + βy + (aα + bβ)n = x T y + (aα + bβ)n
Ils désignent trois éléments quelconques x, y et z de ZZ/nZZ.On a :
x ⋆ (y ⋆ z) = x ⋆ αy + βz = αx + β(αy + βz)
(x ⋆ y) ⋆ z = αx + βy ⋆ z = α(αx + βy) + βz
On en déduit x ⋆ (y ⋆ z) − (x ⋆ y) ⋆ z = β(β − 1)z − α(α − 1)x.
La loi est associative si et seulement si cette quantité est nulle pour tout x, z, et en
particulier si (x = 1, z = 0) et si (x = 0, z = 1), la réciproque étant évidente.
β(β − 1) = 0
Ainsi ⋆ est associative ⇔
α(α − 1) = 0 ⇔
n | β(β − 1)
n | α(α − 1)
5. Soient x, y deux éléments quelconques de ZZ.
On a x ⋆ y − y ⋆ x = αx + βy − αy + βx = (α − β)(x − y).
La loi ⋆ est commutative si cette quantité est nulle pour tous x, y, ce qui équivaut
(prendre par exemple x = y + 1) à dire que α − β = 0.
Autrement dit : la loi ⋆ est commutative si et seulement si n divise α − β.
Jean-Michel.Ferrard @ ac-lyon.fr, 7 novembre 2000 Page 43