4. Groupes, anneaux, corps, arithmétique

Corrigé de l’exercice 4.4.3
Notons d = pgcd (m, n). Il existe m ′ et n ′ , premiers entre eux, tels que
Avec ces notations, on a alors : ppcm (m, n) = dm ′ n ′ .
′ ′ ′ ′
d = (m − n )d
m = n + 1
Les hypothèses s’écrivent donc
c’est-à-dire
dm ′ n ′ = 300
L’entier 300 = 2 2 · 3 · 5 2 possède 3 · 2 · 3 = 18 diviseurs.
Groupes, anneaux, corps
′ m = dm
n = dn ′
.
dn ′ (n ′ + 1) = 300
Ces diviseurs sont en effet les 2 α · 3 β · 5 γ , avec 0 ≤ α ≤ 2, 0 ≤ β ≤ 1 et 0 ≤ γ ≤ 2.
La liste de ces diviseurs, dans l’ordre lexicographique de (α, β, γ) est :
1, 5, 25, 3, 15, 75, 2, 10, 50, 6, 30, 150, 4, 20, 100, 12, 60, 300
Puis par ordre croissant : 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 25, 30, 50, 60, 75, 100, 150, 300.
Les entiers n ′ et n ′ + 1 doivent diviser 300. Les seules solutions sont n ′ ∈ {1, 2, 3, 4, 5}.
Les couples (n, m) s’obtiennent alors dans le tableau suivant :
Corrigé de l’exercice 4.4.4
n ′ m ′ = n ′ + 1 d = 300
m ′ n ′ n = dn ′ m = dm ′
1 2 150 150 300
2 3 50 100 150
3 4 25 75 100
4 5 15 60 75
5 6 10 50 60
On forme le tableau des k 2 (mod 7), avec 0 ≤ k ≤ 6 :
k 0 1 2 3 4 5 6
k 2 0 1 4 2 2 4 1
Pour tout n (en notant r son reste modulo 7) on a donc (modulo 7) : n 2 = r 2 ∈ {0, 1, 2, 4}
Pour tous entiers n, m, la valeur modulo 7 de m 2 + n 2 se lit donc dans le tableau suivant :
+ 0 1 2 4
0 0 1 2 4
1 1 2 3 5
2 2 3 4 6
4 4 5 6 1
On voit que m 2 + n 2 n’est congru à 0 modulo 7 que s’il en est de même de m 2 et de n 2 .
Or le premier tableau montre que ça signifie que m, n sont eux-mêmes congrus à zéro.
Conclusion : ∀ (m, n) ∈ IN 2 , (7 | m 2 + n 2 ) ⇔ (7 | m) et (7 | n).
Jean-Michel.Ferrard @ ac-lyon.fr, 7 novembre 2000 Page 40