4. Groupes, anneaux, corps, arithmétique

Exercice 4.4.8
Résoudre dans ZZ l’équation 2520x − 3960y = 6480.
Exercice 4.4.9
Dans ZZ, on définit la loi T par x T y = αx + βy (α, β ∈ ZZ ∗ ).
Groupes, anneaux, corps
1. Montrer que l’application ϕ : (x, y) → x T y est un morphisme de (ZZ 2 , +) dans (ZZ, +).
2. Quel en est le noyau?
3. On se donne un entier n strictement positif.
Montrer qu’on définit une loi sur ZZ/nZZ en posant: x ⋆ y = x T y.
4. Montrer ⋆ est associative si et seulement si n divise α(α − 1) et β(β − 1).
5. Montrer que ⋆ est commutative si et seulement si n divise α − β.
6. Montrer qu’il existe un neutre si et seulement si n divise α − 1 et β − 1.
7. En déduire à quelle condition (ZZ/nZZ, ⋆) est un groupe commutatif.
Exercice 4.4.10
Soit p un nombre premier.
1. Montrer que pour tout entier k compris entre 1 et p − 1, C k
p est divisible par p.
2. En déduire que pour tous entiers a et b, (a + b) p ≡ a p + b p (mod p).
3. Montrer que pour tout entier n, n p ≡ n (mod p) (c’est le petit théorème de Fermat.)
4. Qu’obtient-on si p ne divise pas n?
Exercice 4.4.11
Montrer que pour tous entiers m et n, N = mn(m 60 − n 60 ) est divisible par 56786730.
Exercice 4.4.12
Montrer que a ∧ b = 1 si et seulement si (ab) ∧ (a + b) = 1.
Exercice 4.4.13
On se donne un entier premier p strictement supérieur à 2.
1. Dans l’anneau ZZ/pZZ, quels sont les éléments qui sont leur propre inverse?
2. En déduire que p divise (p − 1)! + 1.
3.
Établir la réciproque.
Jean-Michel.Ferrard @ ac-lyon.fr, 7 novembre 2000 Page 12