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Corrigé de l’exercice <strong>4.</strong><strong>4.</strong>11<br />
<strong>Groupes</strong>, <strong>anneaux</strong>, <strong>corps</strong><br />
On a 56786730 = 2 · 3 · 5 · 7 · 11 · 13 · 31 · 61. D’autre part N = n(m 61 − m) − m(n 61 − n).<br />
61 étant premier, on a m 61 = m (mod 61) et n 61 = n (mod 61) (cf exercice <strong>4.</strong><strong>4.</strong>10)<br />
Ainsi 61 divise 61. D’autre part, 60 est divisible par 2, 4, 6, 10, 12 et 30.<br />
Soit k l’un de ces entiers. m 60 − n 60 est donc divisible par m k − n k .<br />
Ainsi N est divisible par mn(m k − n k ) = m(n k+1 − n) − n(m k+1 − m).<br />
Or ∀ k ∈ {2, 4, 6, 10, 12, 30}, p = k + 1 ∈ {3, 5, 7, 11, 13, 31} est premier.<br />
Il s’ensuit que n p − n et m p − m sont divisibles par p. Il en est donc de même de N.<br />
Ainsi N est divisible par les entiers 2, 3, 5, 7, 11, 13, 31, 61.<br />
Puisque ces entiers sont premiers et distincts, N est divisible par leur produit 56786730.<br />
Corrigé de l’exercice <strong>4.</strong><strong>4.</strong>12<br />
• On suppose que ab et a + b sont premiers entre eux.<br />
Soit d un diviseur commun de a et b. Alors d divise ab et a + b.<br />
Il s’ensuit que d = ±1. Ainsi les entiers a, b sont premiers entre eux.<br />
• Réciproquement, on suppose que a et b sont premiers entre eux.<br />
Alors a + b est premier avec a et avec b. Il est donc premier avec leur produit.<br />
Corrigé de l’exercice <strong>4.</strong><strong>4.</strong>13<br />
1. Dire qu’un élément de ZZ/pZZ est son propre inverse c’est dire que x 2 = 1.<br />
Mais x 2 = 1 ⇔ (x − 1)(x + 1) = 0 ⇔ x = 1 ou x = −1 (car ZZ/pZZ est un <strong>corps</strong>.)<br />
Les deux seuls éléments de ZZ/pZZ qui sont leur propre inverse sont donc 1 et −1 = p − 1.<br />
2. Le produit de tous les éléments non nuls de ZZ/pZZ s’écrit 1 · 2 · · · · p − 1 = (p − 1)!.<br />
Mais dans ce produit, on peut grouper deux par deux les éléments 2, · · · , p − 2 en associant<br />
à chaque k son inverse.<br />
Ainsi 2 · 3 · · · · p − 2 = 1. Il en découle (p − 1)! = 1 · p − 1 = p − 1 = −1.<br />
Ce résultat signifie que (p − 1)! + 1 est divisible par p (théorème de Wilson.)<br />
3. Soit n un entier naturel non premier, avec n > 2.<br />
Soit k un diviseur de n compris entre 2 et n − 1.<br />
Alors k divise (n − 1)!. Il ne divise donc pas (n − 1)! + 1.<br />
A fortiori l’entier n ne divise pas (n − 1)! + 1 : la réciproque est établie.<br />
Jean-Michel.Ferrard @ ac-lyon.fr, 7 novembre 2000 Page 45
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