4. Groupes, anneaux, corps, arithmétique

Corrigé de l’exercice 4.2.1
1. L’hypothèse (yx) −1 = y −1 x s’écrit x −1 y −1 = y −1 x.
On obtient yx −1 = xy en multipliant par y à droite et à gauche.
On en déduit : x 2 y 2 = x(xy)y = x(yx −1 )y = (xy)(x −1 y) = (xy)(xy) −1 = e.
Mais l’égalité x 2 y 2 = e signifie que (x 2 ) −1 = y 2 , ce qu’il fallait prouver.
2. On trouve successivement :
x 4 = x 2 x 2 = (y 2 ) −1 x 2 = y −1 (y −1 x)x = y −1 (x −1 y −1 )x
= (y −1 x −1 )(y −1 x) = (xy) −1 (y −1 x) = (x −1 y)(y −1 x) = e
On a donc obtenu x 4 = e. Il en découle y 4 = (y 2 ) 2 = (x 2 ) −2 = (x 4 ) −1 = e.
Corrigé de l’exercice 4.2.2
Dire que l’application x → x −1 est un morphisme, c’est dire que :
∀ (x, y) ∈ G 2 , x −1 y −1 = (xy) −1 = y −1 x −1
Mais pour tout a de G, l’application a ↦→ a −1 est une permutation du groupe G.
Groupes, anneaux, corps
On obtient donc une proposition équivalente si on remplace x −1 par x et y −1 par y :
∀ (x, y) ∈ G 2 , xy = yx
Ainsi l’application x → x −1 est un morphisme ⇔ la loi de G est commutative.
Corrigé de l’exercice 4.2.3
• Puisque la loi ⋆ est commutative, il en est de même de la loi T .
En effet, pour tous a, b de G : aT b = a ⋆ b ⋆ α = b ⋆ a ⋆ α = bT a.
• Pour tous a, b, c de E, on a : aT (bT c) = aT (b ⋆ c ⋆ α) = a ⋆ b ⋆ c ⋆ α ⋆ α.
De même : (aT b)T c = (a ⋆ b ⋆ α)T c = a ⋆ b ⋆ α ⋆ c ⋆ α = a ⋆ b ⋆ c ⋆ α ⋆ α.
La loi ⋆ est donc asscociative.
• On constate que α ′ est neutre pour la loi T .
En effet, pour tout a de E : aT α ′ = a ⋆ α ⋆ α ′ = a ⋆ e = a.
• Soit a un élément quelconque de G.
On constate que b = a ′ ⋆ α ′ ⋆ α ′ est inverse de a pour la loi T .
En effet aT b = a ⋆ a ′ ⋆ α ′ ⋆ α ′ ⋆ α = e ⋆ α ′ ⋆ e = α ′ .
• Conclusion : muni de la loi ⋆, l’ensemble G est un groupe abélien.
Jean-Michel.Ferrard @ ac-lyon.fr, 7 novembre 2000 Page 24