Partitionnement de territoire à l'aide d'un algorithme génétique

CHAPITRE 2. OPTIMISATION MULTIOBJECTIF 20
par chacune d’elle dans le même ordre. De plus, chaque machine ne peut traiter qu’un
seul travail à la fois.
Nous utilisons pour cet exemple les notations suivantes [122] :
n est le nombre de travaux devant être traités.
m est le nombre de machines composant la chaîne d’exécution.
t(i, j) est le temps de traitement du travail i sur la machine j. i œ {1,...,n},j œ {1,...,m}
{fi1, fi2,...,fin}, l’ordonnancement des n travaux.
(2.2)
On peut alors définir C(fii,j), le moment où le travail i a terminé son traitement sur la
machine j comme suit [94, 122] :
C(fi1, 1) = t(fi1, 1)
C(fii, 1) = C(fii≠1, 1) + t(fii, 1) i œ {2,...,n}
C(fi1,j)=C(fi1,j≠ 1) + t(fi1,j) j œ {2,...,m}
C(fii,j)=max(C(fii≠1,j),C(fii,j≠ 1)) + t(fii,j) i œ {2,...,n}; j œ {2,...,m}
(2.3)
Résoudre le problème revient donc à trouver un ordonnancement pour ces n travaux
qui optimisent un ou plusieurs objectif(s). On peut par exemple citer la minimisation
du makespan. Le makespan est le temps total de complétion. Il s’agit donc du temps
écoulé entre le début du traitement du premier travail sur la première machine et la fin
du traitement du dernier travail sur la dernière machine. La fonction d’objectif associée
est alors donnée par :
f1 = C(fin,m) (2.4)
D’autres critères comme la minimisation du temps d’inactivité des machines ou encore
le temps d’écoulement total sont envisageables. Le temps d’écoulement total peut être
calculé comme suit :
nÿ
f2 = C(fii,m) (2.5)
i=1
2.4.1 Problèmes discrets et continus
Les problèmes d’optimisation multiobjectif peuvent être classés selon un premier critère,
ils peuvent être discrets, continus ou mixtes.
Si l’on reprend les exemples énoncés précédemment, on peut constater que le premier
exemple, relatif au choix d’un Smartphone, est un problème discret. La personne doit
choisir parmi un ensemble fini de possibilités.
Il y a toutefois une distinction importante à faire ici. Certains problèmes discrets ont un
petit ensemble de solutions, que l’on peut facilement énumérer. C’est d’ailleurs le cas de
l’exemple du Smartphone. Par contre, d’autres problèmes discrets ont un ensemble de
solutions possibles tellement grand qu’il est impensable de faire une recherche exhaustive
afin de trouver les meilleures solutions. Nous reviendrons sur cette distinction et
l’illustrerons à la Section 3.2.
Si l’on considère le troisième exemple, relatif au choix de matériaux de construction
d’une centrale nucléaire, on peut constater qu’il s’agit d’un problème continu puisqu’un