Partitionnement de territoire à l'aide d'un algorithme génétique

CHAPITRE 2. OPTIMISATION MULTIOBJECTIF 22
X est l’ensemble des solutions réalisables du problème étudié et x = {x1,...xn} correspond
au vecteur de décision d’une alternative réalisable.
Dans la littérature, on appelle l’espace de décision du problème, l’espace dont X est un
sous-ensemble.
F(x) =(f1(x),...,fp(x)) : X æ R p envoie l’espace de décision sur l’espace d’objectif
dans lequel on peut comparer la qualité de chaque possibilité.
Si l’on reprend le second exemple mentionné plus haut, l’espace N 2 est l’espace de
décision. Il contient l’ensemble des solutions 4 x = {nombre d’avions, nombre de voitures}.
L’espace d’objectif, est l’espaceR 2 . Grâce au vecteur objectif F(x), on peut passer de l’espace
de décision à l’espace d’objectif. Dans ce cas-ci : F(x)={bénéfices(x), travail machine(x)}
Afin de pouvoir comparer différentes solutions entre elles, on utilise la notion de dominance
Pareto.
Définition 2. Dominance Pareto Nommée de par l’économiste italien Vilfredo
Pareto, cette notion a été introduite pour caractériser un système sous satisfaction
économique maximale c’est à dire, un système ou personne ne peut être rendu plus
heureux sans rendre quelqu’un d’autre moins heureux.
L’image d’une solution dans l’espace d’objectif domine une autre si la valeur de chacun
des objectifs est meilleure 5 .
Le concept de dominance est illustré à la Figure 2.1 pour le problème biobjectif de
Flow-Shop que nous avons décrit précédemment.
Une distinction est souvent faite entre les notions de dominance faible et de dominance
stricte[110].
Définition 3. Dominance faible Un vecteur objectif u = {u1,...,up} domine faiblement
un autre vecteur objectif v = {v1,...vp} si et seulement si :
’i œ {1,...p},ui Æ vi
(2.7)
Définition 4. Dominance stricte Un vecteur objectif u = {u1,...,up} domine strictement
un autre vecteur objectif v = {v1,...vp} si et seulement si :
’i œ {1,...p},ui