La théorie mathématique de la musique selon ... - Mathématiques

deux battements pendant que le ton de référence en fait un, nous le notons
(1 : 2). Ceci est illustré par la deuxième et la troisième suite de points sur la
figure 3. Euler le place donc dans le deuxième degré de douceur.
Les tons qui font respectivement trois et quatre battements pendant que
le ton de référence en fait un (notés (1 : 3) et (1 : 4) respectivement) seront
placés tous les deux dans le troisième degré de douceur car il n’est pas aisé
de décider si l’un est plus simple que l’autre.
Des observations précédentes, Euler tirera quelques règles permettant de
calculer le degré de douceur d’un ton :
– (1 : 1), (1 : 2), (1 : 4) appartenant aux degrés 1, 2, et 3, il est naturel
d’attribuer à (1 : 8) le degré 4, à (1 : 16) le degré 5, et ainsi de suite.
Il pose donc que (1 : 2 n ) appartient au degré de douceur n + 1 :
deg(1 : 2 n ) = n + 1.
– Remarquant que (1 : 4) ne peut pas être considéré comme plus difficile
à percevoir que (1 : 3), et ceci même si 4 est plus grand que 3, il en
déduit que si le nombre k associé à l’unité dans le rapport (1 : k) est
composé, alors son degré de douceur devient plus petit. En revanche,
si le nombre est premier, son degré de douceur doit être associé à
la grandeur du nombre. Par exemple, (1 : 5) doit être plus facile à
comprendre que (1 : 7), même s’il peut être plus compliqué que (1 : 8).
Ainsi, observant que (1 : 2) et (1 : 3) appartiennent aux degrés 2 et 3
respectivement, il s’ensuit que (1 : 5) et (1 : 7) doivent appartenir aux
degrés 5 et 7 respectivement. Il pose donc que (1 : p) appartient au
degré p pour p premier :
deg(1 : p) = p pour p premier.
– De la première règle, il déduit alors que si (1 : k) appartient au degré
m, alors par doublement, le degré de (1 : 2k) sera m + 1, celui de
(1 : 4k) sera m + n et ainsi de suite. Nous aurons alors la relation
suivante :
deg(1 : 2 n k) = m + n.
Euler s’intéresse ensuite au degré de douceur de (1 : pq) avec p et q des
nombres premiers. Il pose alors :
deg(1 : pq) = p + q − 1.
Sa justification est la suivante : le rapport pq
p
étant égal à q = q 1
, le degré
de (1 : pq) doit excéder p de la même valeur que q excède 1. Ainsi, nous
avons bien que (1 : pq) appartient au degré p + q − 1. Généralement, si
deg(1 : P ) = p et deg(1 : Q) = q pour P et Q des nombres entiers, alors :
deg(1 : P Q) = p + q − 1 (1)
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