La théorie mathématique de la musique selon ... - Mathématiques

Généralisation
Considérons les deux accords A(a) et B(b) tels que les diviseurs de A
sont 1, α, β, γ, δ, · · · et ceux de B sont 1, η, θ, ι, χ, · · · . Nous avons donc
A(a) → (a : αa : βa : γa : δa : · · · ) = Aa;
B(b) → (b : ηb : θb : ιb : χb : · · · ) = Bb.
Par définition de l’exposant d’un accord, l’exposant de la succession sera
donné par le plus petit multiple commun de (Aa : Bb), en ayant pris soin
auparavant de diviser les composants de cet accord par le plus grand diviseur
commun de a et b.
Supposons à présent que a et b n’ont pas de diviseur en commun. Alors
la relation suivante nous donne l’exposant recherché.
ppmc(Aa, Bb) = ABab
D ,
où D = pgdc(Aa, Bb).
Si les degrés de douceur de A, B, a, b et D sont p, q, r, s et t respectivement,
alors le degré de douceur de ABab
D
sera p + q + r + s − t − 2. En effet, en
reprenant les règles mises en évidence à la section 3.3, le degré de douceur
de ABab est p + q + r + s − 3 et celui de ABabD est p + q + r + s + t − 4.
Ainsi, le degré de ABabD excède celui de ABab de t + 1. Donc le degré de
ABab doit excéder celui ABab
D
de t + 1. Finalement, nous obtenons bien que
( ) ABab
deg = p + q + r + s − t − 2.
D
C’est le degré de douceur de la succession. Plus il est petit, plus la succession
sera plaisante.
Exemple. Considérons la succession des deux accords suivants :
120(2) → (2 : 4 : 6 : 8 : 10 : 12 : 16)
60(3) → (3 : 6 : 9 : 12 : 15)
L’exposant 120 du premier accord appartient au dixième degré de douceur et
celui du second accord, 60, appartient au neuvième degré de douceur. De plus
les indices 2 et 3 appartiennent au deuxième et troisième degrés de douceur
respectivement. Finalement, le plus grand diviseur commun de 240 = 120 · 2
et 180 = 60 · 3 est 60 qui appartient au neuvième degré de douceur. Nous
avons donc :
A = 120, a = 2, B = 60, b = 3, D = 60
p = 10, r = 2 q = 9, s = 3, t = 9
Le degré de douceur de la succession est donc donné par
p + q + r + s − t − 2 = 10 + 9 + 2 + 3 − 9 − 2 = 13.
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