La théorie mathématique de la musique selon ... - Mathématiques

A ce stade là, faisons un petit résumé de la situation. Jusqu’à maintenant,
nous avons construit les tons suivants :
F G c d f
16 18 24 27 32
où les nombres qui y sont associés sont de la forme 2 m · 3 n , avec n ≤ 3. Le
nombre 5 définit le ton qui fait cinq battements pendant que le ton F en fait
un. Il se trouve donc entre ¯f et ¯c qui font respectivement 4 et 6 battements
pendant que F n’en fait qu’un seul. Ce ton est le ā qui est la tierce majeure
de ¯f, contenue dans le rapport (4 : 5). Nous avons donc :
F f ¯f ā ¯c
1 2 4 5 6
Nous voyons apparaître l’intervalle de ā à ¯c qui est à nouveau une tierce
mineure, cette fois contenue dans le rapport (5 : 6) alors que nous l’avions
découverte précédemment dans le rapport (27 : 32). Euler explique cette
différence par le fait qu’elle est imperceptible pour l’oreille, car les deux
rapports sont très proches.
D’une manière analogue, nous construisons les tons ¯b, ē et f# ¯ qui sont les
tierces majeures des tons G, c et d respectivement. En reprenant les nombres
que nous avions obtenus, nous pouvons calculer les nombres associés aux tons
ā, ¯b, ē et f# ¯ grâce au rapport (4 : 5) de la tierce majeure :
F G c d f g ¯c ¯d ¯f ḡ ā ¯b ¯c
16 18 24 27 32 36 48 54 64 72 80 90 96
4·16 4·18 5·16 5·18 4·24
¯d ē ¯f ¯f# ḡ ā ¯b ¯c ¯d ē ¯f
108 120 128 135 144 160 180 192 216 240 256
4·27 5·24 5·27
Transposant ces résultats dans la première octave, nous obtenons :
F F # G A B c d e f
128 135 144 160 180 192 216 240 256
Si nous omettons le ton F #, nous avons ainsi construit tous les tons correspondants
aux touches principales d’un piano, c’est-à-dire aux touches
blanches. Ces notes de musique constituent la gamme diatonique, dont l’exposant
est 2 m · 3 3 · 5.
En utilisant le nombre 5 élevé au carré, et en partant des quatre derniers
tons obtenus (A, E, B et F #), nous construisons les tierces majeures de
ceux-ci, soit les tons C#, G#, D# et A# respectivement. Repartant du ton
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