La théorie mathématique de la musique selon ... - Mathématiques

Leonhard Euler présente cette classification ainsi que toute l’étude sur les
accords dans le quatrième chapitre de son Tentamen 2 .
Discussion sur la différence entre consonances et dissonances
Une des questions que se pose Leonhard Euler est celle de la limite entre
un accord consonant et un accord dissonant. En effet, selon sa théorie, une
dissonance n’est rien d’autre qu’une consonance dont l’ordre est plus difficile
à percevoir. Il se demande alors où est la limite entre ces deux types d’accords.
Remarquant que le rapport (8 : 9) ∈ V III qui définit comme on le
verra ultérieurement l’intervalle du ton majeur est considéré comme dissonant
et que le rapport (4 : 5) ∈ V II de la tierce majeure apparaît comme
consonant, Euler conclut que la limite doit se trouver quelque part entre le
septième et le huitième degré de douceur. Néanmoins, il n’est pas possible de
conclure que les accords du septième degré sont consonants et que ceux du
huitième sont dissonants car les rapports (5 : 6) et (5 : 8) (la tierce mineure
et la sixte majeure respectivement) sont considérés comme des consonances,
bien qu’ils appartiennent au huitième degré de douceur.
4.2 Les accords complets
Grâce à sa notion d’exposant, Euler définit ce qu’il nomme un accord
complet. Un accord est dit complet si et seulement si les tons utilisés sont
tous les diviseurs de l’exposant. Donnons quelques exemples pour illustrer
ceci. Soit p, q et r des nombres premiers.
– L’accord complet d’exposant p est (1 : p).
– L’accord complet d’exposant p m est (1 : p : p 2 : · · · : p m ).
– L’accord complet d’exposant pq est (1 : p : q : pq).
– L’accord complet d’exposant p m q n est composé de (m+1)(n+1) tons,
et plus généralement, l’accord complet d’exposant p m q n r l est composé
de (m + 1)(n + 1)(l + 1) tons.
Nous remarquons alors qu’en enlevant des tons à ces accords complets, nous
pouvons obtenir des accords incomplets qui sont équivalents au niveau de
l’ordre perçu. En effet, il suffit pour cela que les tons enlevés ne changent
pas l’exposant de l’accord pour que le degré de douceur soit le même. Ceci
permet d’appliquer aux accords à plusieurs tons la théorie développée pour
les accords à deux tons.
Exemple. Considérons l’accord complet (1 : 2 : 3 : 6) d’exposant ppmc(1 :
2 : 3 : 6) = 6. Nous pouvons enlever les tons 2 et 3 sans changer l’exposant.
L’accord obtenu est (1 : 6). l’accord (1 : 2 : 3 : 6) appartient donc au
quatrième degré de douceur.
2 Leonhard Euler’s Tentamen novae theoriae musicae : a translation and commentary
[6], chapitre IV, pages 101 à 122.
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