dynamique non-lineaire des systemes multi-rotors. etudes ...

14 CHAPITRE 1. DYNAMIQUE DES TURBORÉACTEURS
Ici E est la matrice élastique, exprimant la loi de comportement
σ = E(ε + η a ˙ε) (1.11)
qui relie le vecteur σ(z, t) des composantes du tenseur de contraintes et le vecteur ε(z, t) des
composantes du tenseur de déformations, que l’on écrit de la manière suivante
ε(˜z, t) = ∇ũ(˜z, t), (1.12)
avec l’opérateur différentiel
∇ def =
⎡
⎤
∂/∂X 0 0
0 ∂/∂Y 0
0 0 ∂/∂Z
. (1.13)
0 ∂/∂Z ∂/∂Y
⎢
⎥
⎣∂/∂Z 0 ∂/∂X⎦
∂/∂Y ∂/∂X 0
Le travail des forces extérieures W associé à f vol et f surf (désignant respectivement les forces
de volume et de surface), ainsi qu’a la fonction de dissipation F, est donné par :
∫
∫
δW = δu T f vol dΩ + δu T f surf d∂Ω − δq T ∂F
∂ ˙q . (1.14)
Ω
∂Ω
On introduit ici le travail des forces de dissipation par la fonction de dissipation de Rayleigh
F qui s’écrit de la manière suivante, en adoptant l’hypothèse d’un amortissement visqueux :
F = 1 ∫
η a ˙ε T E ˙εdΩ. (1.15)
2
Ω
A cette étape, nous pouvons écrire les équations du mouvement d’un point de vue continu.
Dans bien des cas, nous sommes amenés à discrétiser ces équations pour pouvoir les résoudre
efficacement.
Modèle discrétisé. En s’appuyant sur une démarche de type Rayleigh-Ritz, nous allons
exprimer les équations matricielles du mouvement. Cette approche consiste à décomposer le
champ de déplacements sur une base tronquée de fonctions cinématiquement admissibles. Dans
R l , cette procédure revient à écrire le déplacement sous la forme :
ũ(z, t) ≈ H(˜z)˜x(t). (1.16)
On discrétise ainsi l’espace de fonctions u recherchées sur n composantes du vecteur de coordonnées
généralisées x avec la matrice H dite des fonctions cinématiquement admissibles
(3 × n).
Ainsi, par substitution de (1.16) dans (1.8), on obtient l’équation matricielle de la dynamique
d’un solide déformable dans le repère mobile :
M¨˜x + C ˙˜x + R˜x + f(˜x) − g(t) = 0, (1.17)
C = D + G, (1.18)
R = K + N, (1.19)