dynamique non-lineaire des systemes multi-rotors. etudes ...

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16 CHAPITRE 1. DYNAMIQUE DES TURBORÉACTEURS y PSfrag replacements Y v ω X φ θ = ωt 0 u ψ x Fig. 1.7 – Repères utilisés et convention de signes g replacements y 2 4 PSfrag replacements 3 1 y 2 n2 6 8 n1 x θ = ωt 4 z θ = ωt 7 5 z n1 3 1 x (a) Elément poutre (arbre) (b) Inertie concentrée Fig. 1.8 – Eléments finis
1.2 Dynamique des solides déformables en rotation 17 1 n 1 (z) = 2z 3 −3z 2 −1 0.2 n 3 (z) = −z 3 +z 2 0.8 0.15 0.6 n 1 0.4 n 3 0.1 0.2 0.05 0 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 z 0 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 z 1 n 2 (z) = −2z 3 +3z 2 0.2 n 4 (z) = z 3 −2z 2 +z 0.8 0.15 0.6 n 2 0.4 n 4 0.1 0.2 0.05 0 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 z 0 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 z Fig. 1.9 – Fonctions de forme : polynômes d’Hermite 1. Poutre (arbre, figure 1.8(a)). Les énergies cinétique T (pout) et potentielle U (pout) et la fonction de dissipation F (pout) sont données par : T (pout) = ρS 2 ∫ L 0 U (pout) = EI D 2 ( ˙u 2 + ˙v 2 dz) + ρI D 2 ∫ L O F (pout) = EI Dη a 2 ∫ L 0 ( ˙φ 2 + ˙ψ 2 )dz + 2ρI D ω ( (∂ 2 ) 2 ( u ∂ 2 ) 2 ) v ∂z 2 + ∂z 2 dz = EI D 2 ∫ L O ⎛( ⎝ ∂ ˙φ ) 2 ( ∂ + ˙ψ ∂z ∂z ) 2 ⎞ ∫ L O ∫ L 0 ⎠ dz + EI Dη a ω 2 φ ˙ψdz + ρI D Lω 2 ; (1.28) ( (∂φ ) 2 + ∂z ∫ L O ∂φ ∂z ( ) ) ∂ψ 2 dz; ∂z (1.29) ∂ ˙ψ dz. (1.30) ∂z avec ρ la densité, E le module de Young, L la longueur, S la surface, I D l’inertie diamétrale de la section droite et η a le facteur de perte. Les fonctions de forme pour exprimer les déplacements en fonction de la coordonnée axiale sont données par les polynômes d’Hermite de degré trois n 1 (z), n 2 (z), n 3 (z), n 4 (z) (figure 1.9) : u(z) = u(0)n 1 (z) + u(L)n 2 (z)u(0) + φ(0)n 3 (z) + φ(L)n 4 (z); (1.31) v(z) = v(0)n 1 (z) + v(L)n 2 (z)u(0) + ψ(0)n 3 (z) + ψ(L)n 4 (z); (1.32) φ(z) = ∂u ∂z ; ∂v ψ(z) = ∂z . (1.33) On peut alors obtenir les matrices suivantes du système : M (pout) de masse, K (pout) de raideur, G (pout) gyroscopique, C (pout) d’amortissement et P (pout) circulatoire. 2. Inertie concentrée (disque, figure 1.8(b)). Il s’agit principalement des disques axisymétriques dont les caractéristiques sont définies par leurs masses m, leurs inerties
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