dynamique non-lineaire des systemes multi-rotors. etudes ...

18 CHAPITRE 1. DYNAMIQUE DES TURBORÉACTEURS
polaires (autour de l’axe de rotation z) I P et enfin leur inerties diamétrales I D . Dans ce
cas l’énergie cinétique T (mass) est donnée par :
T (mass) = 1 2 (m( ˙u2 + ˙v 2 ) + I D ( ˙φ 2 + ˙ψ 2 ) + 2I P ωφ ˙ψ + I P ω 2 ) (1.34)
ce qui permet d’obtenir les matrices gyroscopique G (mass) et de masse M (mass) de cet
élément.
3. Raideur concentrée. Cet élément représente généralement les paliers et les supportspaliers,
ainsi que les joints d’accouplement. La contribution énergétique des paliers à
l’action Hamiltonienne s’exprime en termes d’énergie de déformation U (ress) et de dissipation
F (ress) :
U (ress) = 1 2 (k xx(u 2 − u 1 ) 2 + k yy (v 2 − v 1 ) 2 + k ψψ (ψ 2 − ψ 2 ) 2 + k φφ (φ 2 − φ 2 ) 2
+ 2k xy (u 2 − u 1 )(v 2 − v 1 ) + 2k xψ (u 2 − u 1 )(ψ 2 − ψ 1 ) + 2k xφ (u 2 − u 1 )(φ 2 − φ 1 )
+ 2k yψ (u 2 − u 1 )(ψ 2 − ψ 1 ) + 2k yφ (u 2 − u 1 )(φ 2 − φ 1 ) + 2k ψφ (ψ 2 − ψ 1 )(φ 2 − φ 1 )); (1.35)
F (ress) = 1 2 (c xx(u 2 − u 1 ) 2 + c yy (v 2 − v 1 ) 2 + c ψψ (ψ 2 − ψ 2 ) 2 + c φφ (φ 2 − φ 2 ) 2
+ 2c xy (u 2 − u 1 )(v 2 − v 1 ) + 2c xψ (u 2 − u 1 )(ψ 2 − ψ 1 ) + 2c xφ (u 2 − u 1 )(φ 2 − φ 1 )
+ 2c yψ (u 2 − u 1 )(ψ 2 − ψ 1 ) + 2c yφ (u 2 − u 1 )(φ 2 − φ 1 ) + 2c ψφ (ψ 2 − ψ 1 )(φ 2 − φ 1 )). (1.36)
Ces expressions permettent d’avoir directement les matrices de raideur K (ress) et d’amortissement
C (ress) .
L’assemblage de ces matrices nous donne l’équation (1.25) pour une modélisation poutre du
système.
1.3 Dynamique des rotors linéaire
La dynamique des machines tournantes s’appuie sur un ensemble de notions particulières,
comme le balourd, le couplage gyroscopique, les vitesses critiques. Avant de procéder aux applications
concrètes, et plus particulièrement, à la dynamique d’ensemble des moteurs d’avions,
nous rappellerons les phénoménologies propres aux machines tournantes.
Les problèmes principaux liés à la dynamique des rotors sont le calcul des vitesses critiques
et la réponse à balourd quasi-stationnaire ou transitoire. Nous allons nous intéresser
notamment au cas quasi-stationnaire car celui-ci est indépendant de l’accélération angulaire
et fournit des résultats intrinsèques au système étudié.
La bibliographie du domaine est vaste. D’un point de vue historique, les premiers travaux
théoriques sont dûs à Rankine (1869) puis à Jefcott (1919) qui a montré la possibilité de
fonctionnement d’une machine tournante au-delà de sa première vitesse critique grâce à l’autorecentrement
du rotor [Van88]. Le volume des publications sur la dynamique des systèmes
tournants a ensuite augmenté considérablement mais on retiendra les ouvrages des principaux
spécialistes, notamment Stodola (1927) qui a utilisé des modèles prenant en compte des effets