dynamique non-lineaire des systemes multi-rotors. etudes ...

20 CHAPITRE 1. DYNAMIQUE DES TURBORÉACTEURS
3
λ(ω)
2.5
3
Diagramme de Campbell
2
1.5
direct
rétro.
|λ|
2
1
direct
rétro.
sync.
λ
1
0.5
0
0 1 2 3 4 5
ω
Réponse à balourd
30
0
−0.5
x = y
20
10
−1
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
ω
(a) Fréquences de précession
0
0 1 2 3 4 5
ω
(b) Diagramme de Campbell (en haut) et réponse à
balourd (en bas)
Fig. 1.11 – Vibrations libres et forcées du système (1.40)
vitesse de rotation :
G = ωG 0 . (1.38)
Suite au couplage gyroscopique qui est fonction de la vitesse de rotation (1.38), les valeurs
propres du problème généralisé
(λ 2 M + λG + K)x = 0 (1.39)
dépendent à leur tour de la vitesse de rotation. Un outil de base de représentation de l’évolution
de la situation dynamique des systèmes tournants est le tracé de la valeur absolue des pulsations
λ i en fonction du régime ω, appelé diagramme de Campbell.
Soit, à titre d’exemple, un système gyroscopique caractérisé par les matrices suivantes :
[ ] [ ] [ ]
1 0
1 0
0 0.5
M = ; K = ; G 0 =
. (1.40)
0 1
0 1
−0.5 0
L’évolution de λ en fonction de ω (compte tenu du sens de précession) est donnée sur la figure
1.11(a). Le diagramme de Campbell correspondant est donné sur la figure 1.11(b). On constate
différentes évolutions entre les modes direct et rétrograde : les points de croisement avec la
vitesse de rotation ont lieu pour des valeurs de λ et ω différentes. A l’aide du diagramme
de Campbell les vitesses critiques peuvent être lues directement en localisant l’intersection
de la droite correspondant à la vitesse de rotation de l’arbre et des courbes d’évolution des
pulsations propres du système. Ces vitesses critiques sont nommées principales ou primaires
[Gen98] car elles correspondent au croisement défini par la droite
λ = kω, (1.41)
avec k = 1. On parlera également de vitesses critiques secondaires pour les intersections avec
les droites pour k = 2. Dans le cas de rotors horizontaux, on parle de vitesses critiques