dynamique non-lineaire des systemes multi-rotors. etudes ...

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28 CHAPITRE 2. MODÈLES DE ROULEMENTS ω i R i ω c R c ω o R o R i PSfrag replacements R o R c (a) Répartition radiale de vitesses circonférentielles autour d’un corps roulant Force radiale avec une pénétration de 50 µm Z = 20 8 Z = 18 7 Z = 16 6 Z = 14 5 Z = 12 f r , N 4 Z = 10 Z = 8 3 2 9 x 104 φ Z = 6 1 0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 (b) Variation de l’effort radial en fonction de la rotation relative des bagues pour un déplacement radial de (30 + 50) µm dans un roulement à jeu radial de 30 µm avec divers nombres de rouleaux Fig. 2.4 – Considérations sur la cinématique des roulements.
2.1 Modèles de roulements et phénoménologie 29 vaut [RIB + 76] ∆r = c ( ) 1 2 cos(2π/Z) − 1 (2.3) ou c est le jeu radial. Comme on peut le voir, cette amplitude est proportionnelle au jeu radial c et tend vers zéro avec Z croissant. En ce qui concerne la force, sa variation due au passage de corps roulants faiblit également avec Z croissant, comme on peut le voir sur l’exemple de la figure 2.4(b). Il semble donc acceptable dans beaucoup de cas d’admettre que la force radiale transmise est constante. Enfin, en 2006, Villa et al. [VST06] ont appliqué un modèle analogue à celui de Tiwari et al. [TGP00b] à l’analyse des réponses à balourd d’un rotor complexe par balance harmonique. Cette étude a mis en évidence l’évolution du chargement des billes lors des montées en régime vibratoire. Les modèles à cinq degrés de liberté représentent les roulements en tant qu’éléments de raideur non-linéaire appliquée non seulement dans le plan transversal du roulement, mais aussi dans la direction axiale et incluent des degrés de liberté de rotation (basculement relatif des bagues). La physique prise en compte avec ce type de modèle est similaire à celle pour les modèles à deux degrés de liberté : jeu, raideur non-linéaire due au contact, dynamique des corps roulants. En 1960, Jones présente une formulation de modèle de roulement à billes non-linéaire dans le cadre du calcul de la dynamique des rotors souples [Jon60]. Les billes sont représentées en tant que ressorts non-linéaires et les efforts et couples résultants du roulement sont calculés en sommant les effets de chaque bille. Les efforts centrifuges et gyroscopiques appliqués aux billes sont aussi pris en compte. De nombreuses applications de cette modélisation aux roulements à billes de précision sont présentées par Kovalev et Narodetsky [KN75]. En ce qui concerne les roulements à rouleaux, l’expression analytique des efforts nonlinéaires n’est pas disponible. Andréason [And73] a présenté un modèle de roulement à rouleaux appliqué au calcul des roulements coniques d’un montage de pignon. Les efforts non-linéaires transmis par chaque rouleau sont obtenus en découpant 1 le rouleau en tranches fines pour chacune desquelles la pression de contact est supposée constante afin de trouver la répartition de pression dans la zone de contact et de décrire ainsi fidèlement les interactions bague–rouleau. Ces développements ont été réunis par De Mul et al. en 1989 [DMVM89a, DMVM89b] et réécrits en utilisant le calcul matriciel. Les effets centrifuges sont pris en compte et la matrice de raideur tangente est calculée automatiquement. Une application aux roulements à rouleaux cylindriques est donnée avec une vérification expérimentale. Feng et Hahn [FH00] et Liew et al. [LFH02] donnent une application du modèle de de Mul et al. [DMVM89a] à un banc tournant équipé de roulements à billes. Des comportements apériodiques et multi-stables sont constatés. Ces auteurs ont remarqué que la différence entre les résultats obtenus par les modèles à 2 ddl et à 5 ddl est due aux termes de la raideur axiale et de celle en rotation. Cette différence se fait sentir notamment à haute vitesse de rotation. L’influence de la prise en compte des termes d’inertie des billes est également étudiée dans [FH00] et [LFH02] : sur le système étudié dans ces travaux ils ont observé un impact sensible sur la réponse à balourd à partir de 12000 tr/min. 1 dans la littérature anglo-saxonne, le terme employé pour ce découpage est slicing
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