dynamique non-lineaire des systemes multi-rotors. etudes ...

32 CHAPITRE 2.
MODÈLES DE ROULEMENTS
Les vecteurs de déplacements et d’efforts généralisés dans le repère global sont respectivement
notés de la manière suivante :
δ = [u x2 − u x1 , u y2 − u y1 , ϑ x2 − ϑ x1 , ϑ y2 − ϑ y1 ] T , (2.4)
f = [f x2 − f x1 , f y2 − f y1 , m x2 − m x1 , m y2 − m y1 ] T . (2.5)
Le passage entre les repères utilisés s’effectue par la matrice :
[
]
cos φ j sin φ j 0 0
Θ j =
, j = 1, ..., Z, (2.6)
0 0 − sin φ j cos φ j
où Z est le nombre de rouleaux, φ j la position angulaire du j-ième rouleau.
Le passage entre le repère global et celui lié à un rouleau particulier se fait de la manière
suivante :
[ ]
P j
q j = = Θ j f j , (2.7)
T j
v j =
[
]
u j
= Θ j δ. (2.8)
ϑ j
Ici f j et q j désignent la contribution du i-ième rouleau respectivement dans le repère global et
dans celui lié à ce rouleau. Les composantes de ces vecteurs apparaissent sur la figure 2.6.
L’équilibre d’ensemble s’exprime de la manière suivante :
f = −
Z∑
f j = −
j=1
Z∑
Θ T j q j (2.9)
La matrice de raideur tangente du j-ième rouleau étant donnée par :
j=1
Q j = ∂q j
∂v j
, (2.10)
on obtient alors par changement de repère l’expression de la matrice de raideur tangente de
l’ensemble de roulement, associée au déplacement δ :
J =
Z∑
Θ T j Q j Θ j . (2.11)
i=1
Les composantes de q j , ainsi que ses dérivées, sont calculées à chaque itération par une
méthode de découpage, comme illustré sur la figure 2.6. L’écrasement de la k-ième tranche
(sur l’ensemble de K tranches) du j-ième rouleau sur la piste s’exprime donc par
δ k j =
{
uj + ϑ j l k − c k , si u j + ϑ j l k − c k ≥ 0;
0, si u j + ϑ j l k − c k < 0.
(2.12)
avec l k la position axiale de la k-ième tranche par rapport au centre de gravité du rouleau et
c k la distance initiale entre la piste et la surface de la k-ième tranche. On peut donc écrire la
force de réaction transversale de chaque rouleau en utilisant la relation suivante [And73] :
p k j = Q(δ k j ) 10/9 , (2.13)