Modélisation, analyse mathématique et numérique de divers ...

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Table des matières
Partie II Autour des Équations Primitives Compressibles
Chapitre 3 Existence et stabilités de solutions faibles 133
3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
3.1.1 Contexte physique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
3.1.2 Contexte mathématique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
3.2 Dérivation formelle des EPCs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
3.2.1 Équations de Navier-Stokes compressibles anisotropes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
3.2.2 Analyse asymptotique formelle et les EPCs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
3.3 Un résultat d’existence de solutions faibles pour les EPCs en dimension deux . . . . . . . . . 142
3.3.1 Preuve du résultat d’existence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
3.3.2 Preuve du résultat d’existence de B. V. Gatapov et A. V. Kazhikhov . . . . . . . . . . 145
3.4 Un résultat de stabilité de solutions faibles pour les EPCs en dimension trois . . . . . . . . . 150
3.4.1 Étude de la stabilité de solutions faibles du modèle intermédiaire . . . . . . . . . . . . 152
3.4.2 Étude de la stabilité de solutions faibles pour les EPCs . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
3.5 Perspectives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
Partie III Travaux en cours et perspectives
Chapitre 4 Vers la cavitation
4.1 La cavitation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
4.1.1 Historiquement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
4.1.2 Apparition et les différentes formes de cavitation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
4.1.3 Modélisation mathématique de la cavitation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
4.1.4 Perspectives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
4.2 Entrainement d’air dans une conduite fermée : approche bi-couche . . . . . . . . . . . . . . . 174
4.2.1 Un modèle bicouche air/eau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
4.2.2 La formulation cinétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
4.2.3 Le schéma cinétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
4.2.4 Tests numériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
4.2.5 Perspectives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
Chapitre 5 Modélisation de la sédimentation
5.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
5.1.1 Les différents modes de transports de sédiments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
5.1.2 Un modèle mathématique : les équations de Saint-Venant-Exner . . . . . . . . . . . . . 195
5.2 Dérivation formelle du modèle de mélange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
5.2.1 Présentation des modèles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
5.2.2 Conditions aux limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
5.2.3 Analyse dimensionnelle du modèle de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
5.2.4 Analyse asymptotique formelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
5.3 Dérivation formelle d’un modèle de transport de sédiments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
5.3.1 Analyse asymptotique de type couche mince . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
5.3.2 Régime asymptotique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
5.3.3 Intégration verticale du modèle de mélange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
5.4 Un premier exemple : le flux de transport diffusif de J-D. Zabsonré . . . . . . . . . . . . . . . 212
5.5 Un deuxième exemple : le flux de transport de Grass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
5.6 Perspectives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
Annexes 217
Annexe A Produits non-conservatifs 217
Annexe B La méthode des tuyaux équivalents 219
Annexe C Lemme d’Aubin-Simon et injections de Sobolev 221