Modélisation, analyse mathématique et numérique de divers ...

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Avant-Propos
suivantes :
⎧
⎪⎨
⎪⎩
(
∂ t A+∂ x Q
)
= 0,
Q
2
∂ t Q+∂ x
A +p(x,A,E) = −gA dZ
dx +Pr(x,A,E)−G(x,A,E)
−gK(x,A,E) Q|Q|
A
où t est la variable de temps, x l’abscisse curviligne suivant un axe privilégié d’écoulement. L’inconnue
A(t,x), homogène à une aire, est la variable « mixte » car elle permet de calculer tantôt
le niveau d’eau à surface libre, tantôt la pression en charge. L’inconnue Q(t,x) correspond au
débit associé. Le terme de pression p(x,A,E) est égal à la pression à surface libre (i.e. la pression
hydrostatique) lorsque la variable d’état E est égale à 0, ou bien de type mixte hydrostatiqueacoustique
en cas de charge (E = 1). Cette pression est définie de façon à être continue à travers
les points de transition (i.e. les points où il y a changement du type d’écoulement) mais le gradient
de pression est nécessairement discontinu car il correspond à des vitesses d’onde d’ordre de
grandeur très différents (quelques m/s pour la surface libre jusqu’à 1400m/s pour l’écoulement
en charge dans le cas de l’eau) : le changement s’effectuant à travers chaque point de transition.
Les termes sources sont :
• le terme de pente : dZ(x)
dx
• le terme source de pression : Pr(x,A,E),
• le terme de courbure : G(x,A,E),
• le terme de friction : K(x,A,E).
La résolution numérique des équations PFS est basée sur un schéma explicite VFRoe avec
traitement décentré des termes sources, suivant [6], que j’ai adapté au cas d’une conduite à
section et pente variables pour un écoulement soit complètement en charge soit complètement
à surface libre (c.f. Chapitre 2- Section 2.2). Les points de transition, c’est à dire les points de
passage d’un type d’écoulement à un autre font bien sûr l’objet d’un traitement particulier. À
cet effet, j’ai suivi la procédure décrite par Bourdarias et al [7] qui consiste à traiter l’interface
de transition comme une frontière libre et à résoudre un problème de Riemann linéaire à matrice
discontinue, reflétant la discontinuité du gradient de pression. Le calcul des états de part et
d’autre de l’interface, coïncidant avec la ligne de discontinuité de la matrice, sont obtenus via
une méthode que j’ai nommé « onde fantôme » et en utilisant les conditions d’admissibilité de
Song et al [14] : la vitesse de transition est nécessairement comprise entre la vitesse caractéristique
associée à l’état à surface libre et celle en charge. La méthode numérique VFRoe avec traitement
de points de transition multiples dans une conduite à géométrie et pente variable a fait l’objet
d’une publication [3].
Je présente également une approche cinétique basée sur les travaux de Perthame et al [13]
que j’ai adaptée au cas des équations PFS (c.f. Chapitre 2-Section 2.3). Cette méthode repose
sur la formulation cinétique de ces équations. Les avantages de cette approche par rapport à la
méthode numérique précédente sont multiples :
• écriture facile du flux numérique à partir de l’équation microscopique (généralement une
simple équation de transport linéaire),
• prise en compte, de manière naturelle, des écoulements sur fond sec et de l’assèchement,
• décentrement des termes sources basé sur une méthode de caractéristiques généralisées
(permettant de les traiter simultanément : on fait apparaitre pour cela un terme unique
que nous appelons « pseudo-topographie »),
• schéma bien équilibré.