Modélisation, analyse mathématique et numérique de divers ...

1.1. Introduction 5
1.1 Introduction
Dans ce chapitre, on s’intéresse aux écoulements unidimensionnels dans des domaines de type
« couche mince » possédant un axe d’écoulement privilégié et dont le vecteur vitesse d’écoulement
est parallèle à cet axe. En particulier, le profil des vitesses est constant dans toute la section.
Figure 1.1 – Profil de vitesse constant dans toute la section
1.1.1 Autour des équations de Saint-Venant
Dans ce contexte, on présente un modèle de type Saint-Venant pour les écoulements mixtes
en conduite fermée et à section variable. Un écoulement mixte, par définition, est un écoulement
tantôt à surface libre, tantôt en charge (lorsque la conduite est pleine).
Les équations de Saint-Venant, généralement écrites sous forme conservatives, sont classiquement
utilisées pour modéliser les écoulements à surface libre en « eaux peu profondes » : i.e.
lorsque la longueur est grande devant la hauteur d’eau. Le système de Saint-Venant initialement
introduit dans sa version mono-dimensionnelle dans un Compte Rendu à l’Académie des
Sciences en 1871 par A.J.C. Barré de Saint-Venant est un système hyperbolique décrivant l’écoulement
d’eau dans un canal rectiligne à fond plat en termes de hauteur d’eau h(t,x) et de vitesse
moyennée selon la direction verticale, u(t,x) :
⎧
⎨
⎩
∂ t h+∂ x q
(
= 0,
q
2
)
∂ t q +∂ x
h + gh2 = 0,
2
où g désigne la gravité. La seconde variable conservative q(t,x) = h(t,x)u(t,x) considéré dans ce
modèle désigne le débit. Ce modèle permet d’écrire divers phénomènes impliquant des fluides géophysiques
à surface libre en écoulement « peu profond ». Ce système peut inclure de nombreux
termes sources adaptés aux besoins spécifiques des phénomènes modélisés, comme des termes
tenant compte des variations de topographie, des termes dissipatifs de diffusion ou de friction.
Son champ de validité et d’application s’avère donc être très étendu. Dans le cas d’un canal (ou
conduite fermée) non rectangulaire à section constante, ces équations peuvent être réécrites sous
une formulation mono-dimensionnelle aire mouillée A(t,x) et débit Q(t,x) comme suit :
où
⎧
⎨
⎩
∂ t A+∂ x Q = 0,
∂ t Q+∂ x
( Q
2
I 1 =
∫ h(A)
0
)
A +gI 1(A) = 0
(h(A)−z)σ(z)dz