Modélisation, analyse mathématique et numérique de divers ...

xiv
Avant-Propos
nous obtenons le résultat d’existence suivant :
Théorème. Soient ξ 0 et u 0 tels que :
(ξ 0 ,u 0 ) ∈ W 1,2 (Ω), u 0|x=0 = u 0|x=l = 0.
Alors ρ(t,x,y) est borné dans L ∞ (0,T,L ∞ (Ω)) et le système (1) munis des conditions aux limites
(3) admet une solution faible globale en temps, i.e. il existe une famille de fonctions (ρ,u,v) telles
que ρ 0 et
ρ ∈ L ∞ (0,T;W 1,2 (Ω)), ∂ t ρ ∈ L 2 (0,T;L 2 (Ω)), (5)
u ∈ L 2 (0,T;W 2,2 (Ω))∩W 1,2 (0,T;L 2 (Ω)), v ∈ L 2 (0,T;L 2 (Ω)) (6)
qui satisfont (1) au sens des distributions. En particulier, pour toute fonction φ régulière à support
compact et telle que φ |t=T = 0, on a :
∫ T
0
= −
∫
∫Ω
T
0
ρu∂ t φ+ρu 2 ∂ x φ+ρuv∂ z φ+ρ∂ x φ+ρvφ dxdydt
∫
∫
ν 1 ∂ x u∂ x φ+ν 2 ∂ y u∂ y φdxdydt+ u 0 ρ 0 φ |t=0 dxdy.
Ω
Ω
(7)
Les équations en dimension 3 sont :
⎧
⎨ ∂ t ρ+div x (ρu)+∂ y (ρv) = 0,
∂ t (ρu)+div x (ρu⊗u)+∂ y (ρvu)+∇ x p(ρ) = 2div x (ν 1 D x (u))+∂ y (ν 2 ∂ y u),
⎩
∂ y p(ρ) = −gρ
(8)
où x = (x 1 ,x 2 ) et y représentent respectivement la variable d’espace horizontale et verticale.
(u = (u 1 ,u 2 ),v) est le champ de vitesse de composante horizontale u et verticale v, p est la loi
de pression donnée par (2). Le système est muni des conditions aux limites :
avec les données initiales :
conditions périodiques sur ∂Ω x ,
v |y=0 = v |y=h = 0,
∂ y u |y=0
= ∂ y u |y=h
= 0
u(0,x,y) = u 0 (x,y),
ρ(0,x,y) = ξ 0 (x)e −g/c2y .
Dans le cas de la dimension 3, on choisit les viscosités comme suit :
(9)
(10)
ν 1 (t,x,y) = νρ(t,x,y)e −g/c2y ,
ν 2 (t,x,y) = νρ(t,x,y)e 2g/c2y ,
où ν est une constante positive.
Il est bien connu que l’équation hydrostatique pose des difficultés pour obtenir des estimations
à partir de l’énergie du système. En effet, l’énergie classique d’un système est obtenu en
multipliant l’équation de la quantité de mouvement par le champ de vecteur u = (u,v). On
obtient alors :
d
dt
∫
Ω
∫
ρ|u| 2 +ρlnρ−ρ+1dxdy +
Ω
2ν 1 |D x (u)| 2 +ν 2
∣ ∣∂ 2
y u ∣ ∣ dxdy +
∫
Ω
ρgvdxdy = 0,