Modélisation, analyse mathématique et numérique de divers ...

1.2. Dérivation formelle des équations à surface libre 19
la vitesse moyenne du fluide suivant la section Ω(t,x).
Dans le paragraphe suivant, on établit la condition d’advection à la surface libre nécessaire à
l’intégration des équations de conservation de la quantité de mouvement (1.22) le long des sections
Ω(t,x).
Condition cinématique ( ) à la surface libre et équation de conservation de la masse.
v
Si on note V = , en intégrant l’équation de la conservation de la masse (1.6) sur
w
l’ensemble
Ω(x) = {(y,z); α(x,z) y β(x,z), −R(x) y ∞},
on obtient l’équation suivante :
∫
∫
)
∂ t (ρ 0 φ)+∂ x (ρ 0 φu)+div y,z (ρ 0 φV)dydz = ρ 0
(∂ t A+∂ x Q+ (u∂ x M − V)·nds
Ω(x)
∂Ω fm (x)
(1.38)
où A et Q sont données par (1.35) et (1.36).
D’après la définition (1.5) de la fonction indicatrice φ, la frontière de Ω fm coïncide avec la
frontière mouillée γ fm . En utilisant la condition de non pénétration (1.24), l’expression (1.38)
est équivalente à l’équation
∂ t (ρ 0 A)+∂ x (ρ 0 Q) = 0 (1.39)
D’autre part, si on intègre l’équation (1.6) sur Ω(t,x), on obtient :
où
( ∫ h(t,x) ∫ β(x,z)
ρ 0 ∂ t
−R(x)
∫ h(t,x)
−R(x)
α(x,z)
∫
)
dydz +∂ x Q+ (V−u∂ x M)·nds = 0 (1.40)
∂Ω(t,x)
∫ β(x,z)
∂ t dydz = ∂ t A−σ(x,h(t,x))∂ t h
α(x,z)
avec σ(x,h(t,x)) la largeur au miroir (c.f. Fig. 1.6).
Compte tenu de la condition de non pénétration (1.24), l’intégrale sur la frontière mouillée est
nulle, i.e. : ∫
(V−u∂ x M)·n fm ds = 0.
On obtient alors :
γ fm (t,x)
∂(ρ 0 A)+∂ x (ρ 0 Q)+ρ 0
∫
γ sl (t,x)
(∂ t M +u∂ x M − V)·n sl ds = 0. (1.41)
En identifiant les équations (1.39) et (1.41), on aboutit à la condition cinématique à la surface
libre : ∫
(∂ t M +u∂ x M − V)·n sl ds = 0. (1.42)
γ sl (t,x)
L’équation de conservation de la masse (1.41) s’écrit alors :
∂ t (ρ 0 A)+∂ x (ρ 0 Q) = 0. (1.43)