Modélisation, analyse mathématique et numérique de divers ...

1.2. Dérivation formelle des équations à surface libre 15
où A −1 est la matrice inverse de A donnée par (1.13). On a ainsi :
J(∂ t + U.∇)f = ∂ t (Jf)+∂ X (fU)+∂ Y (JfV)+∂ Z (JfW) (1.15)
Les équations de la conservation de quantité de mouvement en variables (X,Y,Z) sont alors le
résultat de la multiplication des équations de la quantité de mouvement (1.4) à gauche par la
matrice JΘ, où le terme source de gravité est réécrit sous la forme F = −∇(g·M) (pour un
point M défini par (1.11)) :
0 = JΘ(∂
( t U+U·∇U+div(P/ρ 0 )+∇(g·M)
)
= J ∂ t (ΘU)+(ΘU·∇)U+JΘdiv(P/ρ 0 )+JΘ∇(g·M)
⎛ ⎛ ⎞ ⎛
⎞⎞
U (U·∇u)cosθ+(U·∇w)sinθ
= J ⎝∂ t
⎝ V ⎠+ ⎝ U·∇v ⎠⎠
W −(U·∇u)sinθ +(U·∇w)cosθ
} {{ }
⎛
+ ⎝
où ψ := (p+g(b+Zcosθ))/ρ 0 .
On procède alors en deux étapes :
Calcul du terme (a).
On a :
(a)
Jdiv(ψi)cosθ +Jdiv(ψk)sinθ
Jdiv(ψj)
−Jdiv(ψi)sinθ+Jdiv(ψk)cosθ
⎞
⎠
} {{ }
(b)
⎛
∂ t U +(U·∇u)cosθ+(U·∇w)sinθ
⎞
J ⎝ ∂ t V + U·∇v ⎠
⎛
∂ t W +−(U·∇u)sinθ+(U·∇w)cosθ
⎞
∂ t U + U·∇U −WU·∇θ
= J ⎝ ∂ t V + U·∇V
∂ t W + U·∇W +UU·∇θ
⎠.
(1.16)
En appliquant successivement l’identité (1.15) avec f = U,V,W, on aboutit à l’équation :
⎛ ⎞ ⎛⎛
⎞ ⎛ ⎞⎞
JU U U
∂ t
⎝ JV ⎠+div X,Y,Z
⎝⎝
JV ⎠⊗⎝
JV ⎠⎠−iUW dθ dθ
+ kU2
dX dX . (1.17)
JW JW JW
Calcul du terme (b).
En appliquant de nouveau le Lemme (1.2.1), on démontre que les trois identités suivantes sont
satisfaites pour toute fonction scalaire ψ :
⎧
⎛
Jdiv(ψi) = div X,Y,Z
⎝
⎪⎨
Jdiv(ψj) = ∂ Y (Jψ),
⎛
Jdiv(ψk) = div X,Y,Z
⎝
⎪⎩
ψcosθ
0
−Jψsinθ
ψsinθ
0
Jψcosθ
⎞
⎞
⎠.
⎠,
(1.18)