Modélisation, analyse mathématique et numérique de divers ...

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Avant-Propos
Premiers pas vers la cavitation.
Au Chapitre 4, en lien avec les écoulements en conduite fermée, j’ai étudié un modèle pour
la prise en compte de l’air sous forme d’un modèle bi-couche. C’est une étape préliminaire pour
la modélisation de la cavitation.
Comme le montre l’expérience, la surpression due au coup de bélier peut provoquer de fortes
tensions du matériau, voire sa rupture. D’autre part, une surpression est généralement suivie
d’une onde de dépression. Si la pression atteint la pression de vapeur, alors des bulles se forment.
En particulier, lorsque ces bulles de vapeur rencontrent une zone de haute pression, elles implosent
en produisant « un bruit de cailloux secoués », endommageant et usant prématurément
la structure. C’est le cas par exemple au voisinage d’une pompe où, en amont, une zone de
dépression peut être observée, tandis qu’au voisinage de la pompe règne une zone de haute pression.
On rencontre aussi le problème dans les zones de fort rétrécissement de la conduite. Par
exemple, dans une conduite à géométrie convergente, au fur et mesure que la conduite rétrécit,
la vitesse s’accélère et la pression peut diminuer avec risque de cavitation. Le champ d’action
de la cavitation est varié, il concerne le domaine de l’aérospatiale, le génie civil, l’automobile,
l’industrie pétrolière, le nucléaire, le biomédical et même la faune!
C’est un problème délicat pouvant entraîner des dommages irréversibles. À titre d’exemple,
le 15 novembre 1999, la fusée japonaise de transport de satellites finit son vol dans l’océan; les
scientifiques ont montré que la cavitation a provoqué l’usure prématuré d’une pale de la turbo
pompe d’injection d’hydrogène liquide qui s’est détachée. Les claquements des articulations du
corps humain sont la conséquence d’un phénomène de cavitation. En effet, au sein du liquide
synovial (lubrificateur naturel pour les cartilages), des cavités de gaz peuvent apparaître. Lorsqu’elle
rencontre des zones où la pression est plus élevée, le gaz se condense et provoque ce bruit.
Les conséquences peuvent être éventuellement très douloureuses.
La cavitation peut parfois être technologiquement exploitée : pendant la guerre froide, une
arme destinée à remplacer les torpilles et les missiles voit le jour : le CHKAVAL. Il est capable
d’atteindre des vitesses de 360 km/h sous l’eau et de frapper un sous marin avant qu’il ne s’en
rende compte ou encore de voler en plein air pour aller couler un bateau. Le principe est décrit
comme suit : la transformation de l’eau au contact du CHKAVAL en une fine couche de vapeur
a pour conséquence de réduire la trainée. C’est ce que l’on appelle la super-cavitation.
Un autre exemple concerne une crevette tropicale. Elle possède une pince surdéveloppée par
rapport à l’autre qui lui permet de créer une bulle de cavitation pour assommer où tuer le
plancton environnant. Il existe de nombreux exemples dans la « vie de tous les jours » où la
cavitation intervient en provoquant des dommages ou au contraire peut être utilisée. Ce rapide
tour dans le monde de la cavitation montre bien son importance, les enjeux économiques et donc
l’utilité de modéliser ce phénomène pour mieux le comprendre et prévenir des dégâts qu’il peut
occasionner. La partie concernant la cavitation consistera essentiellement à faire un historique
depuis Berthelot et Reynolds.
En vue de modéliser ce phénomène complexe dans les conduites fermées, j’envisage d’utiliser
un modèle bi-couche avec transfert de masse chacune des couches étant diphasique. Pour me
familiariser avec les modèles bi-couches, j’ai commencé par la modélisation de l’entraînement
d’air via un « modèle jouet ». Ce modèle est issu des hypothèses simplificatrices suivantes : les
couches sont non miscibles, la couche de gaz est compressible, la température est constante tout le
long du processus, la pression est continue à l’interface air-eau, enfin il n’y a aucun échange avec le
milieu extérieur. Dans ces conditions, j’obtiens un modèle possédant une entropie mathématique.
L’énergie dissipée par la couche d’air est gagnée par la couche d’eau et vice et versa. Les équations