Modélisation, analyse mathématique et numérique de divers ...

1.3. Dérivation formelle des équations en charge 27
Avec ces notations, les équations (1.61)-(1.62) adimensionnelles sont :
⎧
∂˜t (˜ρ˜J)+∂˜X(˜ρŨ)+∂ Ỹ (˜ρ˜JṼ)+∂˜Z(˜ρ˜J˜W) = 0
∂˜t
⎪⎨
(˜ρ˜JŨ)+∂ ˜X(˜ρŨ2 )+∂Ỹ(˜ρ˜JŨṼ)+∂˜Z(˜ρ˜JŨ˜W)+ 1
2
M ∂ ˜X˜ρ = ǫ˜ρŨ˜W˜ρ( ˜X)
a
sin˜θ( ˜X)
−˜ρ
2
F r,L
⎪⎩
− ˜Z
F r,H
2
où F r,M = √ Ū est le nombre de Froude et M a = U est le nombre de Mach.
gM c
Formellement, lorsque ǫ tend vers 0, les équations (1.63) se réduisent à :
d
cos˜θ( ˜X)
d ˜X
(1.63)
∂˜t (˜ρ)+∂˜X(˜ρŨ)+∂ Ỹ (˜ρṼ)+∂˜Z(˜ρ˜W) = 0, (1.64)
∂˜t (˜ρŨ)+∂ ˜X(˜ρŨ2 )+∂Ỹ(˜ρŨṼ)+∂˜Z(˜ρŨ˜W)+ 1
2
M ∂ sin˜θ( ˜X)
˜X˜p = −˜ρ
2
(1.65)
a F r,L
− ˜Z d
2
F r,H d ˜X cos˜θ( ˜X) (1.66)
En notant (x,y,z) les variables dimensionnelles (X,Y,Z) (c.f. (1.7)–(1.9)),(u,v,w) les vitesses
dimensionnelles (U,V,W) et en posant :
x = L ˜X, y = HỸ, z = H ˜Z,
u = UŨ, v = ǫUṼ, v = ǫU˜W,
ρ = ρ 0 ˜ρ la masse volumique dimensionnelle, on aboutit aux équations en variables (x,y,z) :
∂ t ρ+∂ x (ρu)+∂ y (ρv)+∂ z (ρw) = 0, (1.67)
∂ t (ρu)+∂ x (ρu 2 )+∂ y (ρuv)+∂ z (ρuw)+∂ x p = −gρsinθ(x)−gρz d cosθ(x). (1.68)
dx
où p est la pression linéarisée (1.59).
1.3.2.2 Moyennisation des équations d’Euler (1.67)–(1.68)
Soit S(x) la section d’eau (l’air Ω(x)) et Q(t,x) le débit défini comme suit :
∫
S(x) = dydz, (1.69)
où u est la vitesse moyenne sur la section Ω(x) :
∫
1
u(t,x) =
S(t,x)
Ω(t,x)
Q(t,x) = S(x)u(t,x) (1.70)
Ω(t,x)
u(t,x,y,z)dydz. (1.71)
Soit m ∈ ∂Ω(x) et n = m la normale unitaire sortante à ∂Ω(x) au point m dans le Ω-plan.
|m|
On note m le vecteur ωm (c.f. Fig. 1.6). Avec les approximations
ρu ≈ ρu, ρu 2 ≈ ρu 2 ,