Modélisation, analyse mathématique et numérique de divers ...

1.1. Introduction 7
pour palier cette difficulté. Cette correction est apportée par Wiggert [105] et Song [96]. Une
autre approche est développée par Kerger et al. [67, 68], en introduisant la fente de Preissmann
négative, spécialement pour traiter les écoulements sub-atmosphériques.
Au même titre que la méthode de la fente de Preissmann, McCorquodale et al. [61, 76]
introduisent la technique de « rigid water column » qui permet de traiter la partie de l’écoulement
en charge comme une colonne d’eau rigide se déplaçant à vitesse uniforme.
Cependant, aucune des techniques citées ci-dessus ne prend en compte la physique de l’écoulement
en charge, à savoir la compressibilité de l’eau. En effet, un écoulement en charge requiert
un traitement dynamique [48] et compressible (ou faiblement compressible) dont la célérité c
(la même que ci-dessus) est fonction de la densité du fluide. Dans un fluide compressible (ou
faiblement compressible), les ondes de surpression et de dépression qui surviennent lors d’un
changement brutal (voire lent) se propagent à la vitesse c, de même pour un coup de bélier (qui
par définition est constitué d’un ensemble de variations de pression provoquées par la modification
brusque du régime d’écoulement). Il apparait alors qu’une vitesse du son mal calculée capte
peu, voire pas du tout, ce genre de phénomène. En particulier, la fente de Preissmann n’est pas
l’approche la mieux adaptée [97, 48].
Figure 1.3 – Fente de Preissmann
Fuamba propose dans [48] un modèle mixte avec des équations de type Saint-Venant pour
les écoulements à surface libre et il assimile le passage en charge comme solution d’un système
compressible de la forme u(x−wt) où w est la vitesse de propagation de l’interface satisfaisant
les conditions de transition de Song et al. [97]. Dans cette approche, le caractère compressible de
l’eau pour l’écoulement en charge est pris en compte. La prédiction du point de transition et du
suivi de l’interface (séparant les deux types d’écoulement) est étudiée.
Cependant, les équations les plus simples qui prennent en compte la physique d’un écoulement
en charge sont les équations de propagation d’ondes longitudinales dans un milieu non dissipatif
[9]. Ces équations également connues sous le nom d’équations d’Allievi, se présentent sous la
forme non conservative suivante :
⎧
⎨
∂ t p+ c2
gS ∂ xQ = 0,
⎩
∂ t Q+gS∂ x p = 0
√
1
où c = est la célérité de l’onde avec β le coefficient de compressibilité du fluide, p(t,x) la
βρ
pression, S la section maximale, Q(t,x) = ρSu(t,x) le débit massique et ρ la masse volumique du