Modélisation, analyse mathématique et numérique de divers ...

1.2. Dérivation formelle des équations à surface libre 9
pour obtenir un modèle, qu’on appelle PFS-modèle (Pressurized and Free Surface), pour les
écoulements en conduite à section variable, non déformable avec terme de topographie :
⎧
⎪⎨
⎪⎩
(
∂ t A+∂ x Q
)
= 0,
Q
2
∂ t Q+∂ x
A +p(x,A,E)
= −gA d Z
dx +Pr(x,A,E)−G(x,A,E)
−gK(x,A,E) Q|Q|
A
Dans ces équations, les quantités A α , Q α et p α pour α = ch (ch pour charge) ou α = sl (sl pour
surface libre) représentent respectivement l’aire mouillée, le débit et la pression dans l’état α.
La quantité A, dite variable « mixte », est égale à A α si l’écoulement est de type α et p est une
pression « mixte » continue au point de transition (i.e. lorsque l’écoulement change de nature)
et à dérivée discontinue. Soit E un indicateur d’état α tel que E = 1 si α = ch et 0 sinon, alors
p(x,A,E) = p sl (x,A)+E(p sl (x,A)−p ch (x,A)).
Les termes sources sont des termes :
• de pente : dZ(x)
dx
• sources de pression : Pr(x,A,E),
• de courbure : G(x,A,E),
• de friction : K(x,A,E).
Le système permet de simuler des ondes de dépression et de surpression (comme pour les équations
d’Allievi) lors d’écoulement en charge et de suivre, par un algorithme discret, les points de
transition (comme la méthode proposé par Fuamba [48]) avec les conditions de Song et al. [97]
(par une approche « onde fantôme » présentée au Chapitre 2-Section 2.2.3 et par une approche
cinétique, appelé FKA, exposée au Chapitre 2-Section 2.3.3).
Plan du chapitre
Ce chapitre est divisé en trois sections.
La première section (Section 1.2) est consacrée à la dérivation des équations à surface libre à
partir des équations d’Euler 3D incompressibles écrites dans un repère local mobile, en vue de
décrire précisément les effets engendrés par les variations de section et de pente. Il apparait alors
naturellement le terme source de courbure G (voir les équations (1.2)). Les équations sont ensuite
moyennées suivant les sections verticales orthogonales à l’axe d’écoulement. On aboutit alors aux
équations (1.2). En prenant comme point de départ les équations d’Euler 3D compressibles et en
procédant de la même manière que pour la dérivation des équations à surface libre, on aboutit
aux équations en charge (1.1). Dans la dernière partie de ce chapitre (Section 1.4), on présente les
équations PFS qui sont une généralisation des équations pour les écoulements mixtes en conduite
uniforme par Bourdarias et al. [18, 19]. Elles sont obtenues par un couplage des équations en
surface libre et en charge.
1.2 Dérivation formelle des équations à surface libre
Les équations de Saint-Venant sont utilisées pour modéliser les écoulements à surface libre
des rivières, des zones côtières, les problèmes de sédimentation, et en toute généralité les situations
physiques qui se rapportent à un écoulement dit « peu profond ». Elles sont généralement
obtenues à partir des équations d’Euler incompressibles (voir par exemple [2, 75]) ou à partir
(1.3)