Modélisation, analyse mathématique et numérique de divers ...

1.2. Dérivation formelle des équations à surface libre 17
1.2.2.1 Analyse asymptotique formelle
Dans cette section, on écrit la version adimensionnelle des équations (1.22) en fonction d’un
paramètre d’échelle ε pour effectuer une analyse asymptotique formelle en « couche mince ». En
particulier, on s’intéresse à une approximation du système à l’ordre principal; dans ces conditions,
le jacobien J du changement de variable vaut simplement 1.
À cet effet, soit 1 ε = L H = L , l’aspect ratio du domaine, supposé « grand ». H, L, resp. l, est
l
une longueur caractéristique de hauteur, de longueur, resp. de largeur (pour simplifier, on pose
l = H). Au même titre, on suppose que le rapport des échelles caractéristiques des mouvements
horizontaux et verticaux à l’axe d’écoulement est égal à ε. Autrement dit, soit U une vitesse
caractéristique de direction l’axe d’écoulement et (V ,W) des vitesses caractéristiques de direction
normale et binormale au flot. On pose :
ǫ = V U = W U .
Soit T et P, le temps et une pression caractéristique tel que
U = L T , P = ρ 0U 2 .
On adimensionalise par :
Ũ = U U , Ṽ = εV U , ˜W = ε W U ,
˜X = X L , Ỹ = Y H , ˜Z = Z H , ˜p = p P , ˜θ = θ
où les quantités surmontées d’un « tilde » sont les variables sans dimension.
Alors, le jacobien s’écrit en fonction de ces variables :
˜J( ˜X,Ỹ, ˜Z) = 1−ε˜Z d˜θ
d ˜X .
Remarque 1.2.4. Bien que l’analyse qui suit soit formelle, en vertu de l’hypothèse (H) et de
d˜θ
−R(X) Z R(X), ˜Z est borné.
d ˜X
Le système (1.22) sous forme adimensionelle est donné par :
⎧
⎪⎨
⎪⎩
∂ ˜XŨ
+∂Ỹ(˜JṼ)+∂˜Z(˜J˜W) = 0
∂˜t (˜J Ũ)+∂ ˜X(Ũ2 )+∂Ỹ(˜J Ũ Ṽ)+∂˜Z(˜J Ũ ˜W)+∂ ˜X˜p = G 1 ,
ε 2( ∂˜t (˜J Ṽ)+∂ ˜X(Ũ Ṽ)+∂ Ỹ (˜J Ṽ 2 )+∂˜Z(˜J Ṽ ˜W)
)
+∂Ỹ(˜J ˜p) = 0,
(1.26)
ε 2( ∂˜t (˜J ˜W)+∂ ˜X(Ũ ˜W)+∂Ỹ(˜J Ṽ ˜W)+∂˜Z(˜J ˜W
)
2 ) + ˜J∂˜Z(˜p) = G 2
où
G 1 = εŨ˜W d˜θ
d ˜X − sin˜θ( ˜X)
F r,L
2
− ˜Z
F r,H
2
d
cos˜θ( ˜X),
d ˜X
G 2 =
d˜θ cos˜θ( ˜X)
−εŨ2 −
2
+ε d˜θ
d ˜X F r,H d ˜X
˜Z ˜J cos˜θ( ˜X)
F r,H
2
,