Modélisation, analyse mathématique et numérique de divers ...

1.2. Dérivation formelle des équations à surface libre 13
Figure 1.7 – Cas de figure interdit par l’hypothèse (H) :
à une particule fluide ne peut être associé qu’un seul point ω
1.2.1 Équations d’Euler incompressibles en coordonnées curvilignes
En se basant sur les travaux de Bouchut et al. [12, 13], on décrit le système (1.4) dans le repère
local d’origine ω(x,0,b(x)) et de base (T,N,B) par le changement de variable T : (x,y,z) →
(X,Y,Z) en utilisant la règle de composition de la divergence :
Lemme 1.2.1. Soit (X,Y,Z) ↦→ T (X,Y,Z) = (x,y,z) un C 1 -difféomorphisme
et A −1 = ∇ (X,Y,Z) T la matrice jacobienne de déterminant J.
Alors, pour tout champ de vecteur Φ, on a :
et, pour toute fonction scalaire f :
où A t est la matrice transposée de A.
Jdiv (x,y,z) Φ = div (X,Y,Z) (JAΦ),
∇ (x,y,z) f = A t ∇ (X,Y,Z) f,
Soit (U,V,W) t les composantes du champ de vitesse en variables (X,Y,Z),
(U,V,W) t = Θ(u,v,w) t
où Θ est la matrice de rotation autour de l’axe engendrée par j :
⎛ ⎞
cosθ 0 sinθ
Θ = ⎝ 0 1 0 ⎠ .
−sinθ 0 cosθ
1.2.1.1 Équation de la divergence
Un point M(x,y,z) tel que :
M(x,y,z) =
(
)
x−Zsinθ(x), y, x+Zcosθ(x)
(1.11)