Modélisation, analyse mathématique et numérique de divers ...

1.2. Dérivation formelle des équations à surface libre 11
• la variable curvilinéaire :
X =
∫ x
x 0
√
1+
( ) d b(ξ) 2
dξ (1.7)
dx
où x 0 est une abscisse quelconque fixée,
• la variable « largeur »
Y = y, (1.8)
• la B-coordonnée
Z (1.9)
(i.e. la cote suivant le vecteur B définit ci-dessous) d’une particule fluide M,
on définit le repère local d’origine ω(x,0,b(x)) et de base (T,N,B) où T est le vecteur tangent
unitaire, N le vecteur normal et B le vecteur binormal à la courbe plane C au point ω(x,0,b(x))
(c.f. Fig. 1.4 et Fig. 1.6 pour les notations). Dans le plan (O,i,k), B est normal à la courbe
plane C.
Ainsi, pour tout point ω de C, la section d’aire mouillée Ω(t,X) est définie par l’ensemble :
Ω(t,X) = { (Y,Z) ∈ R 2 ;Z ∈ [−R(X),−R(X)+H(t,X)], Y ∈ [α(X,Z),β(X,Z)] } (1.10)
où R(X) est le rayon de la section maximale S(X) = πR 2 (X) et H(t,X) la hauteur d’eau
physique. On note α(X,Z) (respectivement β(X,Z)) le point de frontière gauche (respectivement
droite) du domaine à la cote Z, pour −R(X) Z R(X) (c.f. Fig. 1.6). On suppose également
que α(·,z) et β(·,z) sont des fonctions à support compact dans [−R(X),R(X)]. On note aussi
la Z-coordonnée du niveau d’eau par h(t,X) = −R(X)+H(t,X).
Figure 1.4 – Caractéristiques géométriques du domaine
Écoulement mixte en surface libre et en charge