Modélisation, analyse mathématique et numérique de divers ...

1.3. Dérivation formelle des équations en charge 25
À la frontière (mouillée) on impose une loi de non pénétration et on supposera que la conduite
est non dilatable.
Dans (1.59), on définit la vitesse du son en charge par c 2 = 1
ρ 0 β 0
où β 0 est le coefficient de
compressibilité de l’eau. En pratique, β 0 est égale à 5.010 −10 m 2 /N et donc c ≈ 1400m 2 /s. Le
terme p a est généralement égale à la pression atmosphérique p 0 . Sans perte de généralité, on peut
supposer que p a est nul. Cependant, on reviendra sur ce terme dans la Section 1.4 où il joue un
rôle important dans la modélisation des équations mixtes PFS.
Si (x,0,b sl (x)) désigne la représentation paramétrique de la courbe plane C sl pour
les écoulements à surface libre, alors on définit par prolongement
continu la représentation paramétrique (x,0,b(x)) de la courbe plane C ch
pour les écoulements en charge.
(1.60)
Par conséquent la section Ω(x) (en charge) orthogonale à la courbe plane C ch est aussi le prolongement
continu de la section Ω(t,x) (à surface libre) orthogonale à la courbe plane C sl . On la
note désormais C. On définit une section en charge au point ω de C d’abscisse curviligne X (voir
(1.7)–(1.9)) :
Ω(X) = { (Y,Z) ∈ R 2 ;Z ∈ [−R(X),R(X)], Y ∈ [α(X,Z),β(X,Z)] } .
Remarque 1.3.1. Comme on ne prend pas en compte la dilatabilité de la conduite, les sections
en charge Ω(x) ne dépendent que de la variable spatiale x. Cependant, la dilatabilité peut être
prise en compte dans le modèle en ajoutant une loi d’élasticité (voir, par exemple, [16, 19]).
Dans la suite, tout comme dans la Section 1.2, on procède au changement de variable T :
(x,y,z) → (X,Y,Z).
1.3.1 Équations d’Euler compressibles en coordonnées curviligne
Soit (U,V,W) t les composantes du champ de vitesse en variables (X,Y,Z) définis par
(U,V,W) t = Θ(u,v,w) t
où Θ est la matrice de rotation autour de l’axe engendrée par j :
⎛ ⎞
cosθ 0 sinθ
Θ = ⎝ 0 1 0 ⎠ .
−sinθ 0 cosθ
1.3.1.1 Équation de conservation de la masse
En écrivant l’équation de conservation de la masse (1.57) sous forme de divergence :
( ) ρ
div t,x,y,z = 0
ρU
et en appliquant le Lemme 1.2.1, on obtient les équations en variables (X,Y,Z) :
∂ t (Jρ)+∂ X (ρU)+∂ Y (JρV)+∂ Z (JρW) = 0 (1.61)
où J est le déterminant de la matrice A −1 (c.f. 1.35).
Remarque 1.3.2. Rappelons que d’après (H), on a J(X,Z) > 0.