Modélisation, analyse mathématique et numérique de divers ...

1.2. Dérivation formelle des équations à surface libre 21
∫
Calcul du terme a 2 dydz.
Ω(t,x)
∫
∫
∂ x (ρ 0 u 2 )dydz = ∂ x
Ω(t,x)
Calcul du terme
∫
∫
a 3 dydz.
Ω(t,x)
Ω(t,x)
∫
−
Ω(t,x)
γ fm (t,x)
div y,z (ρ 0 uV) dydz =
∫
ρ 0 u 2 dydz − ρ 0 u 2 ∂ x M · n sl ds
γ sl (t,x)
ρ 0 u 2 ∂ x M · n fm ds.
∫
∫
+
γ sl (t,X)
γ fm (t,X)
ρ 0 uV·n sl ds
ρ 0 uV·n fm ds.
En sommant a 1 +a 2 +a 3 , on obtient d’une part l’intégrale de bord sur la frontière mouillée qui
disparait grâce à la condition de non pénétration (1.24), et d’autre part l’intégrale de bord à
la surface libre qui est nulle via la condition à la surface libre (1.42). Il en résulte l’expression
suivante : ∫
(
Q 2 )
a 1 +a 2 +a 3 dydz = ∂ t (ρ 0 Q)+∂ x ρ 0 (1.45)
A
Ω(t,x)
où A et Q sont données par (1.35) et (1.36) respectivement.
∫
Calcul du terme a 4 dydz.
Ω(t,x)
Avant de commencer le calcul du terme a 4 , on montre que la pression est hydrostatique :
p(t,x,z) = ρ 0 g(h(t,x)−z)cosθ(x). (1.46)
En effet, d’une part, la pression ne dépend pas de la variable y d’après l’équation (1.33). D’autre
part, en intégrant l’équation (1.34) de z à h(t,x), on obtient l’équation (1.46).
Pour ψ = p, p donné par l’équation (1.46), à (t,x) fixé, on a :
∫
Ω(t,x)
∂ x ψdydz =
∫ h(t,x) ∫ β(x,z)
−R(x)
∫ h(t,x)
α(x,z)
∂ x ψdydz
∫ β(x,z)
= ∂ x ψdydz
−R(x) ( α(x,z) ∫ )
h(t,x)
− ∂ x β(x,z)ψ |y=β(x,z) −∂ x α(x,z)ψ |y=α(x,z) dz
∫
−R(x)
= ∂ x ψdydz
( Ω(t,x) ∫ )
h(t,x)
− ∂ x β(x,z)ψ |y=β(x,z) −∂ x α(x,z)ψ |y=α(x,z) dz
−R(x)
∫ β|z=h(t,x)
−∂ x h(t,x)
−∂ x R(x)
α |z=h(t,x)
ψ |z=h(t,x) dy
∫ β|z=h(t,x)
α |z=h(t,x)
ψ |z=−R(x) dy.