Modélisation, analyse mathématique et numérique de divers ...

Chapitre 1
Les équations PFS
Sommaire
1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.1 Autour des équations de Saint-Venant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.2 Autour des écoulements mixtes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2 Dérivation formelle des équations à surface libre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2.1 Équations d’Euler incompressibles en coordonnées curvilignes . . . . . . . . . . . . . . 13
1.2.1.1 Équation de la divergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.2.1.2 Équations de la conservation de la quantité de mouvement . . . . . . . . . . 14
1.2.2 Le modèle à surface libre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.2.2.1 Analyse asymptotique formelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.2.2.2 Moyennisation des équations d’Euler (1.31)-(1.34) . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.3 Dérivation formelle des équations en charge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.3.1 Équations d’Euler compressibles en coordonnées curviligne . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.3.1.1 Équation de conservation de la masse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.3.1.2 Équation de la conservation de la quantité de mouvement . . . . . . . . . . . 26
1.3.2 Le modèle en charge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.3.2.1 Analyse asymptotique formelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.3.2.2 Moyennisation des équations d’Euler (1.67)–(1.68) . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.4 Les équations PFS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.5 Conclusion et perspectives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
Ce chapitre est un développement de la première partie de l’article :
C. Bourdarias, M. Ersoy and S. Gerbi. A model for unsteady mixed flows in non uniform
closed water pipes and a well-balanced finite volume scheme. International Journal On Finite
Volumes, 6(2) :1–47, 2009.
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