METHODES NUMERIQUES PAR CHAÎNES DE MARKOV

1.2. RÉSULTATS D’ERGODICITÉ 11
1.2.2 Lemme de contraction pourP
Proposition 1.3 (Kemeny et Snell, [59]) Supposons que P est régulière : 9k ¸ 1, t.q. " =
inf i;j Pij k > 0. Alors, notant [x] la partie entière de x, ¼ la loi invariante de P, et r le cardinal
de E, on a :
k¹ 0 P n ¡ ¼k 1
r(1 ¡ 2") [n k ]
Preuve : Il su¢t d’établir le résultat pour k = 1; le cas régulier k ¸ 1 s’en déduisant en
travaillant avec la transition Q = P k . Supposons donc que " = inf i;j P ij > 0. Commençons par
établir le lemme de contraction suivant,
Lemme 1.1 Soit x 2 R r , M 0 = max x i , m 0 = minx i , M 1 = max(Px) i et m 1 = min(Px) i .
Alors P est une contraction au sens où
m 0 m 1 M 1 M 0 et 0 (M 1 ¡ m 1 ) (1 ¡ 2")(M 0 ¡ m 0 )
Preuve du lemme : Soit l un indice t.q. x l = m 0 et x 0 2 R r ; de même coordonnée l que x, les
autres coordonnées de x 0 valant M 0 . Puisque P ¸ 0,
(Px) i (Px 0 ) i = M 0 ¡ (M 0 ¡ m 0 )p il M 0 ¡ (M 0 ¡ m 0 )"
Donc M 1 = sup(Px) i M 0 ¡ (M 0 ¡ m 0 )". Tenant le même raisonnement pour le vecteur ¡x,
on obtient : ¡m 1 ¡m 0 ¡ (¡m 0 + M 0 )". Le résultat annoncé s’obtient en sommant ces deux
inégalités.¤
Soit alors x = t ± j où ± j est la loi initiale concentrée en j. Pour M n et m n dé…nies comme
précedemment, mais associées à P n , on a :
m n P n
ij = (P n x) i M n et 0 < " m 1 m n M n M 1 = 1
Les suites (m n ) et (M n ) sont adjacentes, de limite commune ¼ j véri…ant m n ¼ j M n . On en
¯
déduit que ¯¼ j ¡ Pij
n
¯ M n ¡ m n (1 ¡ 2") n . ¤
On verra au chapitre 3 que l’utilisation du coe¢cient de contraction de Dobruschin permet
d’obtenir un meilleur contrôle :
k¹ 0 P n ¡ ¼k 1
2(1 ¡ r") n
1.2.3 Ergodicité et couplage de chaîne de Markov
Alors que les approches précédentes sont algébriques, celle qui suit est, elle, purement probabiliste.
Elle repose sur la technique de couplage, ici spécialisée dans le contexte de chaînes de
Markov (Doeblin, [27]; Aldous, [3]; Lindvall, [68]; Thorisson, [97]; voir également le chapitre
5 et ses exercices). Commençons par dé…nir la notion générale de couplage de mesures. Après
quoi nous construirons un couplage particulier dans le cas de chaînes de Markov, couplage qui
nous permettra de contrôler la vitesse d’ergodicité.
Inégalité de Couplage.
Soit (F;F) un espace mesurable, Q une mesure sur (F 2 ; F ­2 ), ¹ et º deux mesures sur
(F;F). On dit que Q est un couplage de ¹ et de º si ¹ (resp. º) est la première (resp. la
deuxième) marginale de Q. Il y a de multiple façon de construire des couplages, depuis le couplage
indépendant Q = ¹ ­ º jusqu’aux couplages avec dépendances. Rappelons que la norme en
variation totale pour une mesure ¹ sur (F;F) de masse totale …nie est dé…nie par k¹k VT =
supf¯¯R fd¹¯¯ ;kfk 1
= 1g, valant si ¹(E) = 0,
k¹k VT = 2 supfj¹(A)j j A 2 Fg = sup ¹(A) ¡ inf ¹(A)
A 2F A 2F
Si F = E est …nie, cette norme coïncide avec la norme l 1 : k¹k VT
= P i2F j¹ ij = k¹k 1
. On a le
résultat fondamental suivant :