METHODES NUMERIQUES PAR CHAÎNES DE MARKOV

3.2. OPTIMISATION PAR RECUIT SIMULÉ 47
En e¤et, P n k¼ n ¡ ¼ n+1 k = 2 P P
x n j¼ n(x) ¡ ¼ n+1 (x)j + . Les x étant en nombre …ni, il su¢t
de s’assurer de la convergence de chaque série numérique à x …xé: La condition de monotonie
(3.7) assure bien cette convergence : en e¤et, pour n assez grand, j¼ n (x) ¡ ¼ n+1 (x)j + = ¼ n (x)¡
¼ n+1 (x) si (¼ n (x)) est décroissante, = 0 sinon.
(3) Trois conditions su¢santes assurant l’ergodicité faible (3.5) sont :
(3.5-1) : 8m ¸ 0, Q n¸m c(P n) = 0
(3.5-2) : 8n; c(P n ) > 0 et Q n¸0 c(P n) = 0
(3.5-3) : 8n, 9k ¸ n tel que c(P k ) = 0.
(4) Une technique classique pour contrôler c(P i P i+1 ¢¢¢P i+k ) est de décomposer l’intervalle
[i; i + k + 1[ en l intervalles successifs et adjacents I s = [¿ s¡1 ;¿ s [, s = 1;l. Si on note P (s) =
P ¿s¡1 P ¿s¡1 +1 ¢¢¢P ¿s¡1, on obtient :
c(P i P i+1 ¢¢ ¢P i+k )
lY
c(P (s) )
Si de plus on a choisi ¿ s de telle sorte que P (s) > 0, on a c(P (s) ) (1 ¡ r"(P (s) )). Cette
technique est facile à utiliser mais elle est loin d’être optimale.
(5) La condition (3.5) : 8m ¸ 0, c(P m P m+1 ¢¢¢ P n ) ! 0; pour tous les m; est nécessaire (cf.
exercice).
Chaînes inhomogènes : loi des grands nombres et T.L.C.
s=1
Soit X = (X n ) une chaîne inhomogène, de transitions (P n ). Si la loi initiale est º; on notera
P º la loi de la chaîne. Notons par ailleurs c n = sup 1in c(P i ). On a les deux résultats suivants :
Proposition 3.10 Loi des Grands Nombres (Gantert [35]; [52])
On suppose que la chaîne est fortement ergodique convergeant vers ¼ 1 . Soit f : E ! R.
Alors, 1 P
n i=1;n f(X i) ! ¼ 1 (f)
(i) dans L 2 (P º ) si lim n n(1 ¡ c n ) = 1:
(ii) P º -p:s: si P 1
n¸1 2 n (1¡c 2
< 1:
n) 2
Proposition 3.11 Théorème de la Limite Centrale (Dobrushin [26]).
Soient f i : E ! R, et S n = P i=1;n f i(X i ). On suppose que :
(i) Il existe un c > 0 tel que, pour tout i, Var(f i (X i )) ¸ c
(ii) sup i kf i k 1
< 1 et
(iii) lim n n 1 3 (1 ¡ c n ) = +1. Alors :
S n ¡ E(S n )
à N(0;1)
V ar(S n ) 1 2
La constante 1 3
de (iii) est optimale.
Pour ces deux résultats, le cas di¢cile est celui où c n ! 1 ¡ . Supposons par exemple que
c n = 1 ¡ an n , 0 < a n < n et a n ! 1. Pour la loi des grands nombres, la convergence a lieu dans
L 2 (P º ) et P º -p:s: si P n a¡2 n < 1. Le TCL a lieu si a n n ¡2 3 ! +1.
3.2 Optimisation par recuit simulé
Soit U : E ! R une fonction à minimiser sur E …ni, U ¤ = minfU(x) : x 2 Eg et E ¤ = fx 2
E : U(x) = U ¤ g. Soit ¯ = T ¡1 le paramètre inverse d’une température T > 0 (T ! 0 équivaut
à ¯ ! 1), et ¼¯ la loi sur E associée à U et à ¯ :
¼¯(x) = Z ¡1 (¯)exp¡¯U(x)