METHODES NUMERIQUES PAR CHAÎNES DE MARKOV

Chapitre 2
Simulation par Chaîne de Markov
2.1 Le problème et la méthode
Soit E = f1; 2;¢ ¢¢ ;rg un espace d’état …ni, et ¼ une loi de probabilité sur E : comment
obtenir une réalisation de la variable X de loi ¼ ?
Si r; le cardinal de E; n’est pas trop grand (de l’ordre du millier), on simule ¼ par la méthode
classique : on forme la suite croissante de [0; 1] dé…nissant la fonction de répartition de X » ¼,
(i) F 0 = 0 et pour 0 < i r, F i = P ji ¼ j ;
(ii) on tire une loi uniforme U sur [0;1], et
(iii) on retient la réalisation x = x(U) si F x¡1 < U F x
Si cette méthode de simulation est directe et exacte, elle est inapplicable dès que le cardinal de
E est très grand. Par exemple pour l’espace produit E = f0;1g 10£10 , (x 2 E est la réalisation
d’une variable de présence ou d’absence sur le réseau carré f1; 2; ¢¢¢ ;10g 2 à 100 points), r =
2 100 ' 1:27 £ 10 30 : il n’est pas question de pouvoir mettre en mémoire 1:27 £ 10 30 valeurs
F j . Notons au passage que cet exemple est de “petite taille” : la réalisation est binaire et la
taille de la fenêtre petite. Un problème réel en imagerie fera plutôt intervenir une valeur de
r = 256 512£512 ! (256 niveaux de gris, image à 512 £ 512 pixels).
La méthode de simulation par chaîne de Markov.
L’idée est de simuler approximativement ¼ comme loi limite d’une chaîne de Markov ergodique
X de transition P. Ceci implique :
(1) de proposer une transition P sur E telle que ¼P = ¼ (P est ¼ invariante).
(2) de s’assurer de l’ergodicité de la chaîne : ºP n ! ¼:
(3) de savoir à partir de quelle valeur n 0 on peut dire que pour n ¸ n 0 , ºP n est proche de ¼:
Ainsi, pour une loi initiale º arbitraire, et si n 0 est assez grand, ºP n0 réalise approximativement
¼. Si on veut un échantillon approximatif de ¼, on recommence indépendamment cette opération
(on a alors des chaînes indépendantes); ou encore, sur la même chaîne, on espace d’une valeur
K grande les réalisations successives, ºP n 0; ºP n 0+K ; ºP n 0+2K ; et ainsi de suite.
Beaucoup de choix de P sont possibles : du point de vue purement paramétrique, P dépend
de r(r ¡ 1) paramètres, et l’invariance de ¼ impose (r ¡ 1) contraintes d’égalité : on dispose
donc de (r ¡ 1) 2 degré de liberté dans le choix de P et l’ensemble des transitions ergodiques
convergeant vers ¼ contient un ouvert non-vide de R (n¡1)2 .
Relativement aux points (1) et (2), le choix de P doit répondre à la commodité de mise en
oeuvre pratique et à une bonne e¢cacité algorithmique. A ce niveau, le savoir faire prend toute
son importance.
Le point (3) est di¢cile : quand pourra-t-on accepter que la chaîne démarrant suivant la
loi º est entrée dans son régime stationnaire ? Comme nous l’avons vu au premier chapitre, le
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